Нахождение параметров квадратичной функции

Если аппроксимирующей функцией является квадратичная зависимость то её параметры находят из условия минимума функции

. (3.6)

Условия минимума функции (3.6) сводятся к системе уравнений

После преобразований получаем систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными

, (3.7)

при решении которой находим искомые значения параметров и .

Пример. Пусть в результате эксперимента получена следующая таблица значений x и y:

Таблица 5.

xi	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0	1,1	1,2
yi	0,705	0,495	0,426	0,357	0,368	0,406	0,549	0,768

Требуется аппроксимировать экспериментальные данные линейной и квадратичной функциями.

Решение. Отыскание параметров аппроксимирующих функций сводится к решению систем линейных уравнений (3.5) и (3.7). Для решения задачи воспользуемся процессором электронных таблиц Excel.

1. Сначала сцепим листы 1 и 2. Занесём экспериментальные значения x_i и y_i в столбцы А и В, начиная со второй строки (в первой строке поместим заголовки столбцов). Затем для этих столбцов вычислим суммы и поместим их в десятой строке.

В столбцах C – G разместим соответственно вычисление и суммирование

2. Расцепим листы. Дальнейшие вычисления проведём аналогичным образом для линейной зависимости на Листе 1 и для квадратичной зависимости на Листе 2.

3. Под полученной таблицей сформируем матрицу коэффициентов и вектор-столбец свободных членов. Решим систему линейных уравнений по следующему алгоритму: Для вычисления обратной матрицы и перемножения матриц воспользуемся Мастером функцийи функциями МОБРи МУМНОЖ.

4. В блоке ячеек H2:H9 на основе полученных коэффициентов вычислим значения аппроксимирующего полинома y_i выч., в блоке I2:I9 – отклонения Dy_i = y_i эксп. - y_i выч., в столбце J – невязку .

Полученные таблицы и построенные с помощью Мастера диаграмм графики приведёны на рисунках 6, 7, 8.

Рис. 6. Таблица вычисления коэффициентов линейной функции,

аппроксимирующей экспериментальные данные.

Рис. 7. Таблица вычисления коэффициентов квадратичной функции,

аппроксимирующей экспериментальные данные.

Рис. 8. Графическое представление результатов аппроксимации

экспериментальных данных линейной и квадратичной функциями.

Ответ. Аппроксимировали экспериментальные данные линейной зависимостью y = 0,07881x + 0,442262c невязкой Q = 0,165167 и квадратичной зависимостью y = 3,115476x² – 5,2175x + 2,529631 c невязкой Q = 0,002103.

Задания. Аппроксимировать функцию, заданную таблично, линейной и квадратичной функциями.

Таблица 6.

№0	x	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8
y	3,030	3,142	3,358	3,463	3,772	3,251	3,170	3,665
№1	x	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8
y	3,314	3,278	3,262	3,292	3,332	3,397	3,487	3,563
№2	x	2,0	2,1	2,2	2,3	2,4	2,5		2,7
y	1,045	1,162	1,264	1,172	1,070	0,898	0,656	0,344
№3	x	0,3	0,6	0,9	1,2	1,5	1,8	2,1	2,4
y	6,715	6,735	6,750	6,741	6,645	6,639	6,647	6,612
№4	x	1,2	1,4	1,6	1,8	2,0	2,2	2,4	2,6
y	2,325	2,515	2,638	2,700	2,696	2,626	2,491	2,291
№5	x	2,1	2,3	2,5	2,7	2,9	3,1	3,3	3,5
y	1.752	1,762	1,777	1,797	1,821	1,850	1,884	1,944
№6	x	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9	2,0	2,1	2,2
y	1,924	1,710	1,525	1,370	1,264	1,190	1,148	1,127
№7	x	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0	1,1	1,2
y	1,025	1,144	1,336	1,419	1,479	1,530	1,568	1,248
№8	x	2,2	2,3	2,4	2,5	2,6	2,7	2,8	2,9
y	5,785	5,685	5,605	5,545	5,505	5,480	5,495	5,510
№9	x	0,5	0,7	0,9	1,1	1,3	1,5	1,7	1,9
y	4,052	4,092	4,152	4,234	4,338	4,468	4,599	4,771

4. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Решение дифференциальных уравнений является одной из важнейших математических задач, поскольку большинство исследований в механике, физике, биологии предполагают анализ процессов, описываемых дифференциальными уравнениями.

Существует несколько существенно различных классов дифференциальных уравнений. В данном пособии мы остановимся только на обыкновенных дифференциальных уравнениях (ОДУ) первого порядка. Такие уравнения содержат только первую производную от искомой функции от одной независимой переменной. В общем виде ОДУ первого порядка можно записать так:

F(x, y, y¢) = 0,

(4.1)

где у – функция независимого аргумента х; y¢ - первая производная этой функции.

Для численного решения следует переписать уравнение (4.1) в виде (4.2), разрешив его относительно производной:

y¢ = f(x, y).

(4.2)

Из курса высшей математики известно, что общее решение уравнений (4.1), (4.2) содержит произвольную постоянную С. Частное решение получается из общего, если произвольной постоянной придать конкретное значение. Для этого необходимо задать дополнительное условие, которое обычно представляет собой значение функции при некотором начальном значении независимой переменной:

(4.3)

Большинство методов численного решения ОДУ основано на следующем приёме. Область непрерывного изменения аргумента заменяется дискретным множеством точек, называемых узлами. Узлы составляют разностную сетку. Искомая функция непрерывного аргумента приближенно заменяется функцией дискретного аргумента на заданном множестве узлов сетки. В этом случае исходное уравнение (4.2) заменяется разностным уравнением (4.4), где производная представлена отношением конечных разностей:

(4.4)

Здесь y_i– значение искомой функции в i-м узле сетки, x_i- значение независимой переменной в этом узле, h – шаг сетки.

Рассмотрим простейший метод решения ОДУ, называемый методом Эйлера. Расчетная формула метода непосредственно вытекает из (4.4):

(4.5)

где i = 0, 1, 2, … . При этом на первом шаге (i = 0) используется начальное условие (4.3).

Рассмотрим геометрическую интерпретацию метода Эйлера (рис. 9). Начальная точка А(х₀, у₀)находится на интегральной кривой 1, которая является точным решением дифференциального уравнения. Ордината у₁точки В есть сумма у₀ + D у₀, где D у₀ = h × tg a.Но поскольку tg a есть тангенс угла наклона касательной, то, по определению, он равен производной функции в данной точке, то есть tg a = у₀¢ = f(x₀, y₀).

Как видно из рисунка, точным решением на рассмотренном шаге должна быть точка С, однако получена точка Вс координатами (х₁, у₁), которая лежит уже на другой интегральной кривой 2. Это означает, что данный метод имеет погрешность вычислений. На рисунке эта погрешность обозначена e. Нетрудно заметить, что погрешность можно существенно снизить, если уменьшить шаг h. Точность вычислений при этом возрастёт, но увеличится число шагов и объем вычислений.

y 1 C y1 e a B y0 A Dy0 0 x0 x1 x h

Рис. 9. Геометрическая интерпретация метода Эйлера.

Рассмотрим пример. Пусть требуется найти решение уравнения у¢×у + 2х² = 0 на интервале [1,2] при условии у(1) = 3. Представим уравнение в виде у¢ = -2х²/у. Разобьем интервал [1,2]на десять шагов с шагом h = 0,1. Воспользуемся расчетной формулой (4.5).

Первый шаг (i = 0):

х₁ = х₀ + h = 1 + 0,1 = 1,1;

y₁ = y₀ + h × f(y₀, x₀) = 3 + 0,1(-2×1²)/3 = 2,93.

Второй шаг (i = 1):

х₂ = х₁ + h = 1,1 + 0,1 = 1,2;

y₂ = y₁ + h × f(y₁, x₁) = 2,93 + 0,1(-2×1,1²)/2,93 = 2,85.

Аналогично можно найти значения искомой величины на всём интервале. Результаты расчета сведём в таблицу:

х	1,0	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9	2,0
у	3,00	2,93	2,85	2,75	2,63	2,48	2,30	2,07	1,79	1,43	0,93

	Y

. Полученные данные позволяют построить график искомой функции на заданном интервале изменения аргумента:

X Рис. 10

Программа решения рассмотренного уравнения методом Эйлера может иметь следующий вид:

program ODU; {Решение ОДУ методом Эйлера}

Var

i,n:integer;x,y,h:real;

function f(a,b:real):real;

Begin

f:=(-2*sqr(a))/b;

End;

Begin

writeln ('Введите начальные значения x и y'); readln(x,y);

writeln ('Введите шаг'); readln(h);

writeln ('Введите число шагов'); readln(n);

writeln (' РЕШЕНИЕ');

writeln (' x y');

writeln (x:8:3,y:8:3);

for i:=1 to n do

Begin

y:=y+h*f(x,y);

x:=x+h;

writeln (x:8:3,y:8:3);

End;

End.

Задания. Методом Эйлера найти численное решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения и начального условия на отрезке с шагом .

Таблица 7

№ варианта	Уравнение	Начальное условие	a	b
			-1	-0,1
			-1	-0,1

.

5. Многомерная оптимизация. Линейное программирование

Оптимизация – это целенаправленная деятельность, заключающаяся в получении наилучших результатов при соответствующих условиях.

Количественная оценка оптимизируемого качества называется критерием оптимальности или целевой функцией. Её можно записать в виде:

, (5.1)

где – некоторые параметры объекта оптимизации.

Существуют два типа задач оптимизации – безусловные и условные.

Безусловная задача оптимизации состоит в отыскании максимума или минимума действительной функции (5.1) от n действительных переменных и определении соответствующих значений аргументов.

Условные задачи оптимизации, или задачи с ограничениями, - это такие, при формулировке которых на значения аргументов налагаются ограничения в виде равенств или неравенств.

Решение задач оптимизации, в которых критерий оптимальности является линейной функцией независимых переменных (то есть содержит эти переменные в первой степени) с линейными ограничениями на них, составляет предмет линейного программирования.

Слово «программирование» отражает здесь конечную цель исследования – определение оптимального плана или оптимальной программы, по которой из множества возможных вариантов исследуемого процесса выбирают по какому-либо признаку наилучший, оптимальный, вариант.

Примером такой задачи является задача оптимального распределения сырья между различными производствами при максимальной стоимости продукции.

Пусть из двух видов сырья изготавливается продукция двух видов.

Обозначим:

– число единиц продукции первого и второго вида, соответственно;

– цена единицы продукции первого и второго вида, соответственно.

Тогда общая стоимость всей продукции будет

. (5.2)

В результате производства желательно, чтобы общая стоимость продукции была максимальной. – целевая функция в данной задаче.

Обозначим далее:

– количество сырья первого и второго видов, имеющееся в наличии;

– число единиц i-го вида сырья, необходимое для производства единицы j-го вида продукции.

Учитывая, что расход данного ресурса не может превышать общего его количества, запишем ограничительные условия по ресурсам:

(5.3)

Относительно переменных можно ещё сказать, что они неотрицательны и не бесконечны.:

(5.4)

Среди множества решений системы неравенств (5.3) и (5.4) требуется найти такое решение ( ), для которого функция R достигает наибольшего значения.

В аналогичном виде формулируются так называемые транспортные задачи (задачи оптимальной организации доставки товаров, сырья или продукции из различных складов к нескольким пунктам назначения при минимуме затрат на перевозку) и ряд других.