Комплексные числа, действия над ними

Элементы теории функций

Комплексного переменного

Комплексные числа, действия над ними

Определение. Комплексным числом z называется число вида

z=x+iy, (15.1)

где x, y ; – мнимая единица.

Числа x и y называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа z, для них приняты обозначения:

x= Re (x + iy) = Re z; y = Im (x + iy )= Im z.

Если x=0, то число 0 + iy = iy называется чисто мнимым.

Если y=0, то число x + i0=x отождествляется с действительным числом x, т. е. любое действительное число можно рассматривать как комплексное. Множество комплексных чисел обозначается С.

Следовательно, множество действительных чисел содержится во множестве комплексных чисел R C.

Форма записи комплексного числа в виде (15.1) называется алгебраической.

Комплексное число z=0 + 0i называется нулем. Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не определены.

Определение. Комплексное число =x-iy называется сопряженным с числом z=x+ iy. Два комплексных числа, которые отличаются только знаком мнимой части, т.е. z=x+ iy и =x-iy, называются комплексно-сопряженными.

Комплексное число z=x+ iy изображается в плоскости xOy или точкой с координатами (x, y), или как вектор , с проекциями на оси абсцисс и ординат равными соответственно x и y

x

y

x

y

r

О

j

z(x, y)

Длина r вектора называется модулем числа z и обозначается .

(15.2)

Плоскость xOy называется комплексной плоскостью, ось абсцисс - действительной осью, ось ординат – мнимой осью.

Угол между положительным направлением оси Ox и вектором называется аргументом z и обозначается Arg z, он определяется с точностью до слагаемого, кратного 2p.

где arg z – главное значение аргумента.

Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид

(15.3)

Связь между алгебраической и тригонометрической формами:

(15.4)

Чтобы перейти от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической, надо найти его модуль по формуле (15.2), а затем с помощью одной из формул (15.4) найти аргумент .

Для главного значения аргумента справедливо

	;
; (15.5) .

Если комплексное число z находится на одной из осей, то находят непосредственно. Например,

.

- 1

2,1

- 2,5

О

z2= -2,5

y

z3= 2,1

x

z1=2 i

z4= -i

Тогда

.

Показательная форма комплексного числа наиболее удобная его форма. Для ее получения применяют формулу Эйлера:

, (15.6)

(е =2,718 … - иррациональное число).

Если комплексное число z записано в тригонометрической форме (15.3), то используя формулу (15.6), получим показательную форму комплексного числа:

, (15.7)

где ; .

Действия над комплексными числами производятся так:

а) числа заданы в алгебраической форме:

если

то

; (15.8)

, (15.9)

(при z₂≠0); (15.10)

Действия над комплексными числами в алгебраической форме выполняются по тем же правилам, что и над многочленами с действительными коэффициентами, если учесть, что

, , , и т. д.

Частное получается при умножении числителя и знаменателя дроби на число , комплексно-сопряженное знаменателю.

Возведение комплексного числа z в степень n рассматривается как умножение z на себя n раз. Например,

б) числа заданы в тригонометрической форме:

если

,

то

, (15.11)

(при z₂≠ 0); (15.12)

если то – формула Муавра;

; (15.13)

в) числа заданы в показательной:

если то

; (15.14)

если то

; (15.15)

если то

, (15.16)

(15.17)

Для взаимно сопряженных чисел z и справедливы формулы:

если , то

.