Решение задач определенного типа нужно продолжать до приобретения твердых навыков в их решении.
Консультации
Если в процессе работы над изучением теоретического материала или при решении задач у студента возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается (неясность терминов, формулировок теорем, отдельных задач и др.), то он может обратиться к преподавателю для получения от него письменной или устной консультации.
Контрольные работы
В процессе изучения курса математики студент должен выполнить ряд контрольных работ, главная цель которых - оказать студенту помощь в его работе. Рецензии на эти работы позволяют судить о степени усвоения им соответствующего раздела курса; указывают на имеющиеся у него пробелы, на желательное направление дальнейшей работы; помогают сформулировать вопросы для постановки их перед преподавателем.
Лекции, практические занятия и лабораторные работы
Во время экзаменационно-лабораторных сессий для студентов-заочников организуются лекции и практические занятия. Они носят по преимуществу обзорный характер. Их цель - обратить внимание на общую схему построения соответствующего раздела курса, подчеркнуть важнейшие места, указать главные практические приложения теоретического материала, привести факты из истории науки. Кроме того, на этих занятиях могут быть более подробно рассмотрены отдельные вопросы программы, отсутствующие или недостаточно полно освещенные в рекомендуемых пособиях.
Зачеты и экзамены
На экзаменах и зачетах выясняется, прежде всего, четкое усвоение всех теоретических и практических вопросов программы и умение применять полученные знания к решению практических задач. Определения, теоремы, правила должны формулироваться точно и с пониманием существа дела; решение задач в простейших случаях должно проделываться без ошибок и уверенно; всякая письменная и графическая работа должна быть выполнена аккуратно и четко. Только при выполнении этих условий знания могут быть признаны удовлетворяющими требованиям, предъявляемым программой.
При подготовке к экзамену учебный материал рекомендуется повторять по учебнику и конспекту.
2. Типовые программы курса «Высшая математика».
Рекомендуемая литература
2.1. Программа курса «Высшая математика»
для инженерных специальностей
Тема 1. Введение в математический анализ
1. Элементы математической логики, логические символы, необходимые и достаточные условия. Множество вещественных чисел. Определение функции. Основные элементарные функции, их простейшие свойства. Сложные и обратные функции.
2. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности и его свойства. Теорема о существовании предела монотонной ограниченной последовательности.
3. Предел функции в точке. Предел функции в бесконечности. Предел монотонной функции. Непрерывность функции в точке. Непрерывность основных элементарных функций. Предел сложных и обратных функций.
4. Бесконечно малые и бесконечно большие величины, их свойства. Сравнение бесконечно малых. Символы "о" и "О" .
5. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений.
Тема 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
6. Понятие дифференцируемой функции в точке, его геометрический смысл. Дифференциал функции. Производная функции. Правила дифференцирования.
7. Производная сложной и обратной функции. Инвариантность формы дифференциала первого порядка. Дифференцирование функций, заданных параметрически, неявно.
8. Точки экстремума функции. Теорема Ферма. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя.
9. Производная и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Представление функций по формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора в вычислительной математике.
Тема 3. Применение дифференциального исчисления для
исследования функции и построения графиков
10. Условия монотонности функции. Необходимые условия экстремума. Достаточные условия экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значения функции, дифференцируемой на отрезке. Исследование выпуклости функции, точки перегиба.
11. Асимптоты функции. Понятие об асимптотическом разложении. Общая схема исследования функций. Векторная функция скалярной переменной, ее предел, непрерывность, производная. Уравнение касательной и нормальной плоскости к кривой.
Тема 4. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
12. Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости в пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскостей.
13. Кривые второго порядка. Приложения геометрических свойств кривых в технике.
14. Уравнения алгебраических поверхностей 2-го порядка. Их простейшие свойства. Технические приложения геометрических свойств поверхностей. Полярная система координат. Цилиндрическая и сферическая системы координат. Различные способы задания линий и поверхностей на плоскости и в пространстве.
15. Матрицы, операции над ними. Элементарные преобразования матриц. Определители 2-го и высших порядков; их вычисление. Обратная матрица. Решение невырожденных линейных систем.
16. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
17. Линейное векторное пространство. Пространства R2, R3, Rn. Скалярное произведение векторов. Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского. Ортогональный базис. Линейные операторы. Собственные значения и собственные векторы. Классификация операторов (сопряженные, самосопряженные, ортогональные).
18. Векторы в пространстве R2, R3, Rn. Операции над ними. Их свойства. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы. Длина вектора. Примеры использования понятия вектора (определение координат центра масс).
19. Скалярное произведение векторов, его свойства. Длина вектора, угол между векторами в координатной форме. Условие ортогональности. Механический смысл скалярного произведения. Векторное произведение, его свойства. Условие коллинеарности двух векторов. Геометрический смысл определителя 2-го порядка. Вычисление векторного произведения. Простейшие приложения векторного произведения в науке и технике: моменты сил, скорость точки вращающегося тела, направление распространения магнитных волн.
20. Смешанное произведение векторов. Геометрический смысл определителя 3-го порядка. Условие компланарности.
21. Свойство собственных значений и собственных векторов самосопряженного линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора, координат вектора при переходе к новому базису.
22. Линейные и квадратичные формы. Приведение квадратичных форм к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования.
Тема 5. Элементы высшей алгебры
23. Комплексные числа. Операции над ними, их свойства. Алгебраическая, тригонометрическая, показательная формы записи комплексного числа. Формула Эйлера. Корни из комплексных чисел. Формула Муавра.
24. Многочлены. Алгебраические уравнения. Основная теорема алгебры. Канонические представления многочлена. Разложение рациональных дробей на простейшие.
Тема 6. Неопределенный интеграл
25. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Методы интегрирования. Интегрирование рациональных функций.
26. Интегрирование иррациональных выражений. Подстановки Эйлера. Интегрирование тригонометрических выражений.
Тема 7. Определенный интеграл
27. Определенный интеграл, его свойства. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Формула Ньютона- Лейбница. Ее применение для вычисления определённых интегралов.
28. Методы вычисления определенного интеграла. Приближенные методы вычисления определенных интегралов (по формулам прямоугольника, трапеции, Симпсона).
29. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Их основные свойства. Теоремы сравнения.
Тема 8. Функции нескольких переменных
30. Функции нескольких переменных. Область определения. Пределы функции. Непрерывность. Частные производные, полный дифференциал. Дифференцируемость функции.
31. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала. Производные сложных функций.
32. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функций нескольких переменных. Неявные функции, теорема существования. Дифференцирование неявных функций.
33. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Метод наименьших квадратов. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Примеры применений при поиске оптимальных решений.
Тема 9. Интегральное исчисление функций нескольких переменных
34. Задачи, приводящие к понятиям кратных, криволинейных и поверхностных интегралов. Интеграл по фигуре и его общие свойства. Двойной интеграл, его свойства и вычисления в декартовой и полярной системах координат.
35. Тройной интеграл, его свойства и вычисления в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат.
36. Криволинейные и поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода, их свойства и вычисление. Их приложения, формулы Грина, Стокса, Остроградского- Гаусса.
Тема 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ДУ) и
системы дифференциальных уравнений (СДУ)
37. Физические задачи, приводящие к ДУ. ДУ с разделяющимися переменными. ДУ первого порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
38. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах (уравнения в полных дифференциалах, однородные ДУ, уравнения Бернулли и т.д.).
39. ДУ высших порядков. Задача Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка. Приложения к решению задач о 2-й космической скорости, движении физического маятника. Понятие о краевых задачах для ДУ.
40. Линейные ДУ, их общие свойства. Линейные ДУ с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. Метод Лагранжа.
41. Системы ДУ (СДУ). Нормальные системы ДУ, свойства их решений. Задача Коши. Линейные СДУ. Методы их решения. Автономные системы. Свойства их решений. Фазовые пространства, плоскость, фазовая кривая. Простейшие численные методы решения ДУ и СДУ.
42. Понятие о качественных методах исследования ДУ и СДУ. Понятие об устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову. Устойчивость решения системы ДУ с постоянными коэффициентами.
Тема 11. Теория рядов
43. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия с рядами. Методы исследования сходимости рядов. Теоремы сравнения. Признак Даламбера. Признак Коши. Интегральный признак сходимости.
44. Знакопеременные ряды, их свойства. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость.
45. Функциональные ряды, область сходимости, свойства функциональных рядов. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов.
46. Степенные ряды. Радиус сходимости. Теорема Абеля. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях. Ряды Тейлора для функции нескольких переменных.
47. Ряды Фурье. Основная тригонометрическая система функций. Разложение функций в ряд Фурье (периодических, непериодических, четных, нечетных).
48. Приложения рядов Фурье. Достаточные условия сходимости тригонометрических рядов Фурье.
Тема 12. Теория вероятностей (ТВ) и математическая статистика (МС)
49. Предмет ТВ. Классификация событий. Операции над событиями. Диаграммы Эйлера - Венна. Связь с теорией множеств. Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Способы задания вероятности. Понятие об аксиоматическом построении ТВ. Комбинаторика.
50. Теоремы умножения и сложения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
51. Дискретные случайные величины (СВ). Схема Бернулли. Биномиальный закон распределения. Распределение Пуассона. Показательное распределение.
52. Непрерывные СВ. Функции распределения дискретной и непрерывной одномерных СВ, их свойства. Основные непрерывные распределения. Нормальное распределение. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
53. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое ожидание, моменты.
54. Законы больших чисел. Теоремы Бернулли, Чебышева. Центральные предельные теоремы. Теорема Ляпунова.
55. Двумерные СВ. Функция распределения двумерных СВ, ее свойства. Нормальный закон распределения для двумерных СВ. Числовые характеристики двумерных СВ.
56. Основные понятия МС: варианты, генеральная и выборочная совокупности. Эмпирическая функция распределения, гистограмма, полигон частот.
57. Точечные и интервальные оценки параметров распределения. Интервальная оценка математического ожидания случайной величины, подчиняющейся нормальному закону распределения при известном "сигма".
58. Распределение Стьюдента. Интервальные оценки для дисперсии нормально распределенной СВ и математического ожидания при неизвестном "сигма".
59. Функция регрессии. Коэффициенты корреляции и регрессии. Корреляционное поле. Выборочный коэффициент корреляции. Определение параметров функции регрессии методом наименьших квадратов.
60. Понятие о статистических гипотезах и о критериях согласия. Критерии Пирсона и Колмогорова. Простые и сложные гипотезы, ошибки 1-го и 2-го рода.
Тема 13. Уравнения математической физики
61. Уравнения математической физики. Классификация уравнений. Краевые условия, типы условий. Задача Коши. Волновое уравнение. Уравнение теплопроводности.
62. Задача Коши о колебании бесконечной струны. Формула Даламбера и ее анализ.
63. Задачи Коши о колебании конечной струны и о теплопроводности в конечном стержне. Метод разделения переменных.
64. Задача Коши о колебании круглой мембраны.
Тема 14. Элементы операционного исчисления
65. Преобразование Лапласа, его свойства. Таблица изображений. Теорема существования. Обратное преобразование Лапласа. Преобразование Фурье. Связь преобразований Лапласа и Фурье.
66. Основные теоремы операционного исчисления. Способы восстановления оригинала по изображениям. Интеграл Дюамеля.
67. Решение ДУ и СДУ с помощью операционного исчисления.
68. Понятие о дискретном преобразовании Фурье. Разложение по синусам, сдвинутым синусам. Разложение по косинусам. Преобразование действительной и комплексной периодических сеточных функций.
Основная литература