Інтегральне числення функцій однієї змінної. Ряди

1) Яка функція служить первісною для даної функції?

2) Що називається невизначеним інтегралом? У чому полягає його геометричний зміст?

3) Які основні властивості невизначеного інтеграла?

4) Як перевірити правильність виконання операції інтегрування?

5) У чому полягає спосіб безпосереднього інтегрування?

6) У яких двох формах реалізується метод заміни змінної в невизначеному інтегралі?

7) Наведіть формулу методу інтегрування частинами в невизначеному інтегралі. Коли доречно застосовувати цей метод?

8) Наведіть типові випадки застосування інтегрування частинами і дайте відповідні рекомендації щодо вибору .

9) Наведіть стандартний вигляд многочлена -го степеня.

10) Як розкладається многочлен з дійсними коефіцієнтами на прості дійсні множники?

11) Що називається раціональним дробом? За якої умови раціональний дріб є правильним? Неправильним?

12) Як подати неправильний раціональний дріб у вигляді суми цілої частини і правильного дробу?

13) Які правильні раціональні дроби називаються елементарними (найпростішими)?

14) Який вигляд має розклад правильного раціонального дробу на суму найпростіших дробів?

15) Які методи застосовуються для знаходження коефіцієнтів цього розкладу? У чому суть методу невизначених коефіцієнтів і методу окремих значень? Дайте рекомендації щодо їх застосування.

16) Як інтегруються елементарні дроби різних типів?

17) Як інтегруються правильні раціональні дроби у наступних випадках: а) корені знаменника дійсні й прості; б) корені знаменника дійсні, але деякі зних кратні; в) корені знаменника – дійсні (можливо, кратні) і прості комплексно спряжені?

18) Як за допомогою підстановок інтеграли з лінійними ірраціональностями зводяться до інтегралів від раціональних функцій?

19) Як знаходяться інтеграли вигляду , , ?

20) У чому полягає універсальна тригонометрична підстановка?

21) Як знаходяться інтеграли вигляду , , , , , де – знак раціональної функції?

22) Як за допомогою тригонометричних підстановок інтегруються вирази, що містять квадратний корінь із суми чи різниці квадратів?

23) Наведіть приклади інтегралів, що “не беруться”.

24) Що таке інтегральна сума? Який її геометричний зміст?

25) Що називається визначеним інтегралом? У чому полягає його геометричний і фізичний зміст?

26) Сформулюйте необхідну умову інтегровності функції.

27) У чому полягає достатня умова інтегровності?

28) Наведіть формулу Ньютона – Лейбниця, що встановлює зв’язок між визначеним і невизначеним інтегралами.

29) Сформулюйте основні властивості визначеного інтеграла.

30) Якою подвійною нерівністю задається оцінка визначеного інтеграла?

31) Що називається середнім інтегральним значенням функції на відрізку? Сформулюйте теорему про середнє інтегральне. У чому полягає її геометричний зміст?

32) Що таке визначений інтеграл зі змінною верхньою межею?

33) Як здійснюється заміна змінної у визначеному інтегралі?

34) Наведіть формулу інтегрування частинами у визначеному інтегралі.

35) Що таке невласний інтеграл на необмеженому проміжку? У чому полягає його геометричний зміст?

36) Що таке невласний інтеграл від необмеженої функції? У чому полягає його геометричний зміст?

37) Наведіть дві основні схеми застосування визначеного інтег­рала.

38) Що таке область? Замкнена область? Обмежена область?

39) Яка область називається правильною (стандартною) в напрямку осі ? Осі ? Просто правильною?

40) Як знаходиться площа правильної в напрямку осі області? Правильної в напрямку осі області?

41) Як знаходиться довжина дуги плоскої лінії у випадку, коли: а) лінія задана явно в прямокутних координатах; б) лінія задана параметрично в прямокутних координатах?

42) Як знаходиться об'єм тіла з відомими площами паралельних перерізів?

43) Як знаходиться об'єм тіла обертання?

44) Як знаходиться площа поверхні обертання?

45) Що називається числовим рядом, частковою сумою, загальним членом, сумою, залишком ряду?

46) У чому полягає необхідна ознака збіжності та відповідна достатня ознака розбіжності ряду?

47) Сформулюйте властивості дій з рядами.

48) Який числовий ряд називається знакододатним?

49) У чому полягає інтегральна ознака Коші? Як оцінюються сума і залишок збіжного знакододатного ряду, спираючись на інтегральну ознаку?

50) При яких умовах збігаються і розбігаються найпоширеніші еталонні ряди – узагальнений гармонічний ряд і ряд геометричної прогресії?

51) Сформулюйте основну ознаку порівняння.

52) У чому полягає гранична ознака порівняння? Як треба підбирати відповідний еталонний ряд?

53) Сформулюйте ознаку Даламбера.

54) Коли краще застосовувати ознаку Даламбера, щоб не натрапити на випадок невизначеності?

55) У чому полягає радикальна ознака Коші?

56) Коли краще застосовувати радикальну ознаку, щоб не натрапити на випадок невизначеності?

57) Який числовий ряд називається знакозмінним?

58) Що таке знакопочерговий ряд (ряд Лейбниця)?

59) У чому полягає ознака Лейбниця збіжності знакопочергового ряду?

60) Як оцінюються сума і залишок збіжного знакопочергового ряду, спираючись на ознаку Лейбниця?

61) Який знакозмінний ряд називається абсолютно збіжним? Умовно збіжним?

62) Сформулюйте достатню ознаку збіжності знакозмінного ряду.

63) В якому порядку краще досліджувати знакозмінний ряд на абсолютну й умовну збіжність?