Схемы замещения комплексного сопротивления и проводимости

При анализе различных цепей часто возникает необходимость комплексные сопротивления и проводимости представить электрическими моделями – схемами замещения.

Участок цепи с сопротивлением Z = r + jx можно представить моделью в виде последовательной схемы из двух элементов r и x (сопротивления складываются при последовательном соединении), изображенной на рис. 2.6, а. Этот же участок цепи можно представить параллельной схемой (рис. 2.6, б), если известна комплексная проводимость участка Y = g + jb (проводимости складываются при параллельном соединении элементов).

Если считать, что Z и Y параметры одного и того же участка цепи, то можно утверждать, что схемы на рис. 2.6 эквивалентные.Эквивалентными цепями называются такие, у которых напряжения и токи на внешних одноименных полюсах при заданных условиях совпадают, т.е. внешние электрические параметры равны. Следовательно, для этих схем должно выполняться условие эквивалентности:

, т. е.

(2.23)

Из выражений (2.23) можно определить связь между резистивными и реактивными составляющими комплексного сопротивления и комплексной проводимости участка цепи (2.24):

(2.24)

Отметим, реактивные составляющие при преобразовании меняют знак, а также каждая составляющая r и x зависит от g и b и наоборот – g и b зависят от r и x.

КОМПЛЕКСНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ И ПРОВОДИМОСТИ ИДЕАЛИЗИРОВАННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ (R, L, C)

Для определения комплексных параметров можно воспользоваться методом комплексных амплитуд. Заменим мгновенные значения гармонических напряжений и токов их комплексными изображениями

. (2.25)

Запишем выражения, связывающие между собой напряжения и токи в сопротивлении R (1.6), в индуктивности L (1.8) и в емкости C (1.11), для мгновенных комплексных значений (2.25).

Резистивный элемент R

По этому выражению можно найти комплексные сопротивление Z_R(jω)и проводимость Y_R(jω)резистивного элемента

(2.26)

Сравнивая выражения (2.26) с (2.13), (2.14), (2.22), устанавливаем, что комплексные сопротивление и проводимость являются чисто резистивными (x = b = 0) (рис. 2.7, в, г), а модули равны параметрам R иG резистивного элемента (рис. 2.7, а). Следовательно, фазовый сдвиг φ_Z = φ_U – φ_I = – φ_Y = 0 равен нулю, т.е. напряжение и ток в сопротивлении совпадают по фазе(рис. 2.7, б).

Комплексная схема замещения резистивного элемента (рис. 2.7, а) имеет такой же вид, как и схема замещения этого элемента для мгновенных значений (см. рис. 1.7) и отличается от последней комплексными изображениями Ů_R и İ_R.

Индуктивный элемент L

Подставим комплексные изображения (2.25) в выражение (1.8).

.

После преобразования получим соотношение, связывающее между собой комплексные амплитуды напряжения и тока в индуктивности: Оно позволяет получить выражения комплексных сопротивления Z_L(jω)и проводимости Y_L(jω)индуктивности:

(2.27)

Сравнивая (2.27) с показательной (2.13), алгебраической (2.14), (2.22) формами записи комплексных сопротивления и проводимости можно сделать вывод о характере комплексного сопротивления и проводимости индуктивности:

1. Комплексные сопротивление и проводимость индуктивности чисто реактивные и зависят от частоты (прямо пропорционально и обратно пропорционально соответственно)

Z_L(jω) =jωL, Y_L(jω) = – 1/ωL; (2.28)

2. Резистивные составляющие равны нулю:

r_L = g_l = 0;

3. Разность фаз между напряжением и током равна π/2, т.е. напряжение на индуктивности опережает ток на 90⁰:

φ_ZL = φ_U - φ_I = π/2 = – φ_YL (рис. 2.8, в, г)

Емкостной элемент C

Если подставить комплексные изображения (2.22) в выражение (1.11) и произвести преобразования, как и для индуктивности, то получатся выражения комплексных сопротивления Z_C(jω) и проводимости Y_C(jω) емкости.

(2.29)

Сравнивая (2.29) с показательной (2.13), алгебраической (2.14), (2.22) формами записи комплексных сопротивления и проводимости можно сделать вывод о характере комплексного сопротивления и проводимости емкости.

1. Комплексные сопротивление и проводимость емкости чисто реактивные и зависят от частоты (обратно пропорционально и прямо пропорционально соответственно)

Z_L(jω) =jωL, Y_L(jω) = –1/ωL; (2.30

2. Резистивные составляющие равны нулю: r_C = g_C = 0 (рис. 2.9, в, г);

3. Разность фаз между напряжением и током равна – π/2, т.е. напряжение на емкости отстает от тока на 90⁰: φ_ZL = φ_U - φ_I = – π/2 = – φ_YL (рис. 2.9, в, г).