Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2

Общая задача интерполирования ОМ формулир. след. образом. Для ф. Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru и набора попарно неравных узлов Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru требуется построить ОМ Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru по сист. ф. Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru так, чтобы знач. ОМ и его производных до определ. порядка в узлах совпадали с соотв. знач. ф. и ее производных:

Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru .

Ограничимся рассмотр. здесь случая, когда Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru , т.е., общей задачей интерпол. алгебраическими М. Для ф. Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru и набора попарно неравных узлов Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru требуется построить М Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru , удовлетв. условиям

Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru .(1)

Рассм. разность Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru , где Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru - ИМ Лагранжа для Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru по узлам Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru . Т.к. Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru при Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru , то Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru . (2)

Исходная задача сведена к построению М Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru .

Продифф. равенство (2): Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru . Для узлов Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru , в кот. заданы знач. произв. Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru отсюда имеем Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru . (3)

Дифф. равенство (2) дважды, получим

Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru Отсюда для узлов Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru , в кот. заданы знач. произв. Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru , имеем

Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru Далее, приходим к задаче постр. М Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru степени Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru , удовл. усл. Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru . (4)

Для построения М Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru по услов. (4) применяем тот же прием, что и при построении М Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru по усл. (1). Повторяя процесс, приходим к задаче построения ИМ по его знач. в узлах, где в (1) задавались знач. старшей производной. Последняя задача решается единственным образом и, следовательно, искомый мн. Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru имеет степень Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru и является единственным.

Мн. Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru , удовлетв. усл. (1), наз. мн. Эрмитадля ф. Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru по набору попарно неравных узлов Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru с соотв. кратностями Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru узлов.

Проведем построение мн. Эрмита для случая, когда все узлы имеют одинаковую кратность, равную двум. Усл. (1) при этом принимают вид

Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru . (5)

Используя форм. (2) и (3), получим Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru ;

Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru .

Т.о., построен искомый ИМ Эрмита

Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru . (6)

Проведем в выражении (6) алгебраические преобр. Учтем, что Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru и

Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru Тогда формула (6) примет вид

Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru (7)

Рассм. выражение в фигурных скобках Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru . Это мн. степени Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru . При этом Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru

Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru Следов., рассматриваемый мн. представляется в виде Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru . (8)

Полагая в (8) Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru , имеем Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru и Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru . Из условия

Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru находим

Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru . Подставляя получ. выражения коэффициентов в (8), имеем

Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru .

Заменим в (7) мн. Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru в фигурных скобках найденным выражением, тогда для мн. Эрмита с узлами кратности 2 получим окончательное выражение

Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru . (9)

12. Некорректность задачи численного диф-я в пр-ве ℂ. Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru Примеры.Пусть ф. Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru задана на Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru табл. знач. Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru и надо найти приближ. знач. ее производной в некоторой точке этого отрезка.

Решение поставленной задачи можно провести с использованием ИМ Лагранжа Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru порядка n, кот. приближает ф. с погрешн. Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru . Дифференцируя равенство Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru , (1)m раз имеем погрешность Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru . (2)

Т.о., производная мн. Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru приближает производную ф. Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru с погрешн. Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru , т.е., приближенное равенство Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru (3)имеет погрешность Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru .

Покажем, что в общем случае малая разность между двумя ф. на отр. еще не означает, что малой будет и разность их производных на этом отр. В качестве примера рассм. ф. Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ruОбщая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru и Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru . Найдем отклонение Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru от Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru . Расстоян. между этими ф. в пр. ℂ Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru равно Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru

а расстояние между их производными в этом пр. Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru . Некорректность в пр. ℂ задачи численного дифференц. заключ. в том, что из сходимости в этом пр. последовательности ф. не следует, что последовательность производных этих ф. также будет сходиться.

Примеры формул численного дифференцирования

В качестве примера рассм. использование для интерполирования в начале таблицы ИМ Ньютона:

Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru .

Дифф. приближенное равенство Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru будем иметь:

Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru В случае Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru форм. приобретает вид Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru . Для второй производной получаем соотв. Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru и Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru .

Третья производная мн. третьей степени явл. константой Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru .

При неравноотстоящих узлах для построения форм. численного дифференц. используются ИМ Лагранжа

Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru и интерпол. форм. Ньютона с РР

Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2 - student2.ru .


Наши рекомендации