Интерполяция функций многочленами

Задание.

По заданным точкам составить интерполяционный многочлен Лагранжа и преобразовать его в форму простого полинома.

Выполнить расчет промежуточных точек по полученной формуле с шагом (b-a)/25,

где а и b – крайние точки интервала.

Построить в Mathcad графики:

Заданной табличной функции (большие маркеры без линий);

Ломаной, соответствующей многочлену Лагранжа в вычисленных точках;

Плавной кривой полинома Лагранжа (строится на интервале по аналитической формуле без конкретных точек).

1.

х 0,99 3,69 4,13 6,07 7,35
у 22,48 26,25 44,67 8,83 56,18

2.

х -5 -3
у -4 -3 -2

3.

х
у 7,79 6,06 3,84 3,04 0,67 3,59

4.

х 6,22 7,71 9,05 18,59 22,21
у 14,79 8,18 17,49 21,89 23,28

5.

х -100,00 -83,42 -80,51 -74,01 -72,27
у 98,68 148,68 180,23 59,63 68,72

6.

х 1,00 18,16 46,51 47,09 74,98
у 28,02 216,87 196,49 198,92 180,22

7.

х -1,00 -0,53 0,39 0,86 1,86
у 28,02 216,87 405,72 594,57 783,43

8.

х -5,00 -2,80 -1,09 -0,23 0,30
у 20,00 15,00 18,00 15,67 14,67

9.

х 2,29 3,05 5,70 6,67 7,66
у 3,27 8,52 12,07 31,04 20,47

10.

х 4,70 5,00 7,08 8,91 10,87
у -2,22 -5,31 -22,93 -1,01 -75,57

11.

х 8,20 14,90 20,40 53,10 53,29
у 3,10 0,00 -2,30 6,90 14,70

12.

х 34,00 43,00 49,00 59,00 68,00 74,00
у 0,14 0,11 0,10 0,08 0,07 0,07

13.

х 1,00 5,00 11,00 16,00 21,00 27,00
у 6,59 1,68 14,51 16,59 11,61 37,62

14.

х 14,00 21,00 30,00 40,00 50,00 55,00
у 1,37 5,35 4,70 4,97 6,93 5,26

15.

х 0,10 1,05 1,55 2,43 2,81
у 0,31 22,84 12,66 30,30 25,07

16.

х
у 1,39 2,24 5,28 7,22 13,98 19,73

17.

х
у 1,39 3,90 10,00 84,45 597,94

18.

х
у 1,20 1,65 2,51 2,96 3,08 3,12

19.

х -4 -2
у 3,00 0,00 -1,00 2,00 9,00 22,00

20.

х -3 -1
у 5,00 3,00 0,00 -1,00 2,00 6,00

Пример выполнения

Выполним решение для варианта №8.

Расчеты проведем в среде Mathcad.

Составим интерполяционный полином Лагранжа.

Интерполяция функций многочленами - student2.ru

Выполним расчет промежуточных точек по полученной формуле с шагом Интерполяция функций многочленами - student2.ru .

Интерполяция функций многочленами - student2.ru

Построим графики.

Интерполяция функций многочленами - student2.ru

Содержание отчета:

1. Графики функций и полиномов.

2. Выводы.

Контрольные вопросы:

1. Поясните термины: “интерполяция”, “экстраполяция”, “аппроксимация”.

2. Способы приближения функций.

3. Составить интерполяционный многочлен Лагранжа для 2-3 точек.

4. Составить интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов.

5. Составить интерполяционный многочлен Ньютона для неравноотстоящих узлов.

6. Формулы кусочно-квадратичной интерполяции.

Лабораторная работа №4

Аппроксимация функций методом наименьших квадратов

1 Методом наименьших квадратов подобрать коэффициенты аппроксимирующей функции (по вариантам) и построить график аппроксимации с исходными точками.

2 Составить программу для выполнения задания, а также выполнить его в пакете Mathcad. Построить графики табличной функции (маркерами) и аппроксимирующей.

3 Найти все отклонения и среднеквадратическое отклонение аппроксимирующей функции от заданной табличной, заполнив таблицу:

xi x1 x2 ... xn
yi y2 y2 ... yn
Ф(xi) Ф(x1) Ф(x2) ... Ф(xn)
Dyi     ...  

Среднеквадратическое отклонение:

Интерполяция функций многочленами - student2.ru

М – математическое ожидание (среднее арифметическое)

Интерполяция функций многочленами - student2.ru Интерполяция функций многочленами - student2.ru
Интерполяция функций многочленами - student2.ru Интерполяция функций многочленами - student2.ru
Интерполяция функций многочленами - student2.ru Интерполяция функций многочленами - student2.ru
Интерполяция функций многочленами - student2.ru Интерполяция функций многочленами - student2.ru
Интерполяция функций многочленами - student2.ru Интерполяция функций многочленами - student2.ru
Интерполяция функций многочленами - student2.ru Интерполяция функций многочленами - student2.ru
Интерполяция функций многочленами - student2.ru Интерполяция функций многочленами - student2.ru
Интерполяция функций многочленами - student2.ru Интерполяция функций многочленами - student2.ru
Интерполяция функций многочленами - student2.ru Интерполяция функций многочленами - student2.ru
Интерполяция функций многочленами - student2.ru Интерполяция функций многочленами - student2.ru
Интерполяция функций многочленами - student2.ru Интерполяция функций многочленами - student2.ru
Интерполяция функций многочленами - student2.ru Интерполяция функций многочленами - student2.ru

Содержание отчета:

1. Вывод и решение системы для определения коэффициентов полинома.

2. Таблицы.

3. Графики функций и полиномов.

4. Выводы.

Контрольные вопросы:

1. Сравните полиномиальную интерполяцию табличной функции многочленами и аппроксимацию по методу МНК.

2. Какие функции обычно выбираются в качестве аппроксимирующих (приведите формулы).

3. Способы линеаризации зависимостей.

4. В чем заключается основная идея МНК?

Лабораторная работа №5

Наши рекомендации