Поверхности второго порядка

Параболоиды

Цилиндрические поверхности

3. Конические поверхности

Цели занятия: научиться строить поверхности типа параболоидов; изучить конические и цилиндрические поверхности.

Роль и место лекции

В лекцией рассмотрены такие важные типы поверхностей, как цилиндрические и конические. Материал ограничивается случаями плоской направляющей и прямой образующей. Приведенные в этой лекции сведения, необходимы при изучении тем «Поверхности уровня» и «Дифференциал функций многих переменных и его приложения», и т. д. Обратите внимание на поверхности типа гиперболического параболоида.

Параболоиды

Сферический и эллиптический параболоид

Определение 1.

Параболоидом вращения называется поверхность, образованная вращением параболы вокруг ее оси симметрии.

Получим поверхность, вращая кривую – параболу, вокруг оси . Согласно правилу, уравнение поверхности будет иметь вид или

. (1)

Если параболоид вращения деформирован сжатием или растяжением в области кругового сечения, то получится эллиптический параболоид

. (2)

Данные поверхности изображены на рис. 1.

Гиперболический параболоид

Исследуем методом сечений поверхность

. (3)

1. Сечение плоскостью , т. е. , тогда

или – две прямые.

Cделаем сечение плоскостью . Тогда – гипербола.

2. Сечение плоскостью , т. е. , тогда

или – парабола.

3. Сечение плоскостью , т. е. , тогда

или – парабола.

Дополнительно сделаем сечение плоскостью . Тогда - парабола. Т. к. в сечениях две параболы, одна гипербола, следовательно, это гиперболический параболоид рис. 2.

2. Цилиндрические поверхности

Определение 2.

Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная движением прямой (образующей), параллельно самой себе и пересекающей заданную линию (направляющую).

Пусть l – образующая прямая , L – направляющая, заданная в плоскости . Тогда поверхность будет иметь вид рис. 3. Возьмем на поверхности некоторую точку . Очевидно . Следовательно, обе точки имеют одинаковые координаты x, y и при этом в не зависимости от координаты z. Следовательно, уравнение направляющей есть уравнение цилиндрической поверхности, если оно рассматривается относительно координат в пространстве

. (4)

При этом образующая цилиндра будет параллельна оси координат одноименной с отсутствующей переменной.

В зависимости от вида направляющей различают такие цилиндрические поверхности:

а) параболический цилиндр рис. 4; б) круговой цилиндр рис. 5;

в) эллиптический цилиндр рис. 6; г) гиперболический цилиндр рис. 7.

3. Конические поверхности.

Определение 3.

Конической поверхностью называют поверхность, образованную движением прямой (образующей), проходящей через заданную точку (вершину) и пересекающей заданную линию (направляющую).

Пусть l – образующая прямая, L – направляющая, О – вершина. Тогда поверхность будет иметь вид рис. 8.

В частном случае коническая поверхность может быть образовании вращением некоторой прямой вокруг оси . При этом согласно правилу построения поверхностей вращения

или . (5)

Уравнение (5) есть уравнение прямого кругового конуса. Исследуем эту поверхность методом сечений

1. Сечение плоскостью , т. е. , тогда

или – две прямые.

2. Сечение плоскостью , т. е. , тогда

или – две прямые.

3. Сечение плоскостью , т. е. , тогда

или – точка начала координат.

Дополнительно сделаем сечение плоскостью . Тогда или – окружность. Поверхность изображена на рис. 9.

Заключение

Данной лекцией закончена тема «Аналитическая геометрия». Однако на протяжении всего курса математики необходимо будет возвращаться к ней. Например, при изучении темы «Функции многих переменных» и др. В последних двух лекциях рассмотрены основные типы поверхностей, встречающиеся в прикладных задачах. Однако это лишь небольшая минимально необходимая часть сведений о поверхностях.

Отметим следующее:

- существуют прямые полностью лежащие на поверхности гиперболического параболоида;

- при деформации поверхности вращения, в конечном уравнении коэффициенты при переменных различны;

- существуют и не прямые конические поверхности;

- рассматривая уравнение плоской кривой второго порядка относительно пространственных координат, получим уравнение цилиндра.

- цилиндр имеет бесконечную длину.

Литература

1. Бермант А.Ф. и др. Краткий курс математического анализа. – М.: Высшая школа, 2001.

2. Рыжков В. В. Лекции по аналитической геометрии. – М.: Факториал пресс, 2000, – 208 с.

3. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Физматлит, 2002.

4. Шипачев В.С. Основы высшей математики. - М.: Высшая школа,1998.

5. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1989, – 659 с.

Предметный укозатель

Наименование	Стр.
Ал-Каши
Алгебраическое дополнение
Аристотель
Архимед
Базис операций
Базис пространств
Биекция
Бинарные отношения
Вектор
Вектор единичный
Вектора коллинеарные
Вектора компланарные
Вектора линейно-зависимые
Вектора противоположны
Векторное произведение
Вершина эллипса
Вершины гиперболы
Гаусс К. Ф.
Гильберт
Гипербола
Гиперболоид
Декарт Рене
Декартов базис
Дирихле
Дополнение множества
Инъекция
Каноническое уравнение гиперболы
Каноническое уравнение параболы
Каноническое уравнение прямой
Каноническое уравнение эллипса
Квантор
Континиум
Коническая поверхность
Коши Огюстен-Луи
Лейбниц Генрих
Леонардо да Винчи
Линия
Лобачевский Н. И.
Ляпунов А.М.
Марков А.А.
Матрица
Матрица диагональная
Матрица квадратная
Матрица обратная
Матрица столбец
Матрица транспонированная
Матричный метод
Метод Жордана-Гаусса
Метод Крамера
Метод сечений
Минор
Множества конечные
Множества эквивалентные
Множество
Множество бесконечное
Множество действительных чисел
Множество конечное
Множество натуральных чисел
Множество пустое
Множество рациональных чисел
Множество счетное
Множество универсальное
Множество целых чисел
Мощность множества	11, 32
Норма
Ньютон Исаак
Обратная функция
Обратное отношение
Общее уравнение плоскости
Объединение множеств
Окружность
Определенная система
Определитель матрицы
Отношение эквивалентность
Отношения множеств
Парабола
Параметрическое уравнение прямой
Параболоид
Пересечение множеств
Плоскость
Поверхность
Подмножество
Подмножество несобственное
Поле
Полуось эллипса
Полярная система координат
Преобразование координат
Преобразование матриц
Проекция
Произведение множеств
Произведение матриц
Пространства линейные
Пространства нормированные
Прямая
Прямая на плоскости
Радиус-вектор
Разность множеств
Ранг матрицы
Рефлексивность
Риман
Связное отношение
Симметрическая разность
Симметричность
Скалярное произведение
Смешанное произведение
Совместная система
Соответствие
Сумма векторов
Сумма матриц
Суперпозиция
Сюръекция
Теорема де-Моргана
Теорема Кронекера-Капелли
Теорема Лапласа
Транзитивность
Угол между векторами
Угол между прямыми на плоскости
Угол между плоскостями
Угол между прямыми в пространстве
Угол прямой с плоскостью
Унарные отношения
Уравнение линии
Уравнение плоскости в отрезках
Уравнение плоскости через 3 точки
Уравнение прямой в отрезках
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Уравнение прямой через 2 точки
Фибоначчи Леонардо Пизанский
Фокус гиперболы
Фокус эллипса
Фундаментальное решение
Функционал
Функция на множестве
Цилиндрическая поверхность
Чебышев П.Л.
Эвклид
Эвклидово пространство
Эйлер Леонард
Эксцентриситет гиперболы
Эксцентриситет эллипса
Эллипс

Греческий алфавит

Содержание

Предисловие
Краткая историческая справка
Лекция № 1 «Множества»
Лекция № 2 «Алгебра множеств»
Лекция № 3 «Отношения множеств»
Лекция № 4 «Функции множеств»
Лекция № 5 «Линейные пространства»
Лекция № 6 «Векторная алгебра»
Лекция № 7 «Эвклидово пространство»
Лекция № 8 «Определитель»
Лекция № 9 «Матрицы»
Лекция № 10 «Системы уравнений»
Лекция № 11 «Плоскость в пространстве»
Лекция № 12 «Прямая в пространстве»
Лекция № 13 «Прямая на плоскости»
Лекция № 14 «Окружность, эллипс»
Лекция № 15 «Гипербола, парабола»
Лекция № 16 «Сфера, эллипсоиды»
Лекция № 17 «Параболоиды, цилиндры»
Предметный указатель
Греческий Алфавит

ЗАМЕТКИ

Александр Александрович Смирнов

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ,