По общей теории линий второго порядка

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ

1. Приведите примеры линий второго порядка, которые:

а) не имеют асимптотических направлений;

б) имеют одно асимптотическое направление;

в) имеют два асимптотических направления;

г) имеют более двух асимптотических направлений.

2. Приведите примеры линий второго порядка, которые имеют прямые асимптотического направления:

а) пересекающие линию только в одной точке;

б) пересекающие линию только в двух точках;

в) содержащиеся в линии;

г) не пересекающие линию.

3. Сформулируйте критерий того, что является вектором асимптотического направления относительно линии второго порядка.

4. Как по общему уравнению линии второго порядка определить, сколько асимптотических направлений существует относительно этой линии?

5. Может ли не иметь асимптотических направлений линия второго порядка, для коэффициентов из общего уравнения которой выполняется условие:

а) ; б) и ?

6. Сколько асимптотических направлений существует относительно линии второго порядка, если члены второй степени xy+ из её общего уравнения образуют полный квадрат?

7. Какой вид имеет общее уравнение линии второго порядка, для которой

а) ось Ох имеет асимптотическое направление;

б) ось Оу имеет асимптотическое направление;

в) Ох и Оу – прямые асимптотического направления?

8. Может ли линия второго порядка: а) иметь асимптоты и не иметь асимптотических направлений; б) иметь асимптотические направления и не иметь асимптоты?

9. Как, зная общее уравнение линии второго порядка, определить координаты центра этой линии?

10. Сколько центров может иметь линия второго порядка? Приведите примеры линий второго порядка:

а) имеющих только один центр;

б) имеющих только два центра;

в) имеющих бесконечно много центров;

г) не имеющих центров.

11. Центром линии второго порядка является начало координат. Как это отражается на коэффициентах в уравнении этой линии?

12. Может ли не иметь центров линия второго порядка, относительно которой:

а) не существует асимптотических направлений;

б) существует два асимптотических направления?

13. Может ли центр линии второго порядка принадлежать этой линии?

14. Существуют ли линии второго порядка, у которых:

а) нет центра и имеются две взаимно перпендикулярные оси симметрии;

б) есть три центра, не лежащие на одной прямой;

в) каждая точка линии является её центром?

15. Докажите, что если линия второго порядка имеет две непараллельные асимптоты, то точка их пересечения есть центр этой линии.

16. Существует ли параллелограмм, все вершины которого лежат на некоторой параболе?

17. Дано общее уравнение линии второго порядка, имеющей вещественные точки. Как определить вид этой линии?

18. Назовите все линии второго порядка, которые:

а) не имеют особых точек;

б) имеют только одну особую точку;

в) имеют только две особые точки;

г) имеют более двух особых точек.

19. Как по общему уравнению линии второго порядка определить координаты особой точки этой линии?

20. Почему касательную к линии второго порядка не определяют в особой точке?

21. Запишите уравнение касательной к линии второго порядка в обыкновенной точке ).

22. Существуют ли линии второго порядка, у которых касательная имеет асимптотическое направление?

23. Почему в определении диаметра линии второго порядка рассматривается вектор не асимптотического направления?

24. Запишите уравнение диаметра линии второго порядка, заданной общим уравнением. Объясните, почему это уравнение является уравнением прямой.

25. Любая ли линия второго порядка имеет хотя бы один диаметр? Почему?

26. Что можно сказать о диаметрах:

а) линий второго порядка, имеющих прямую центров;

б) центральных линий второго порядка;

в) нецентральных линий второго порядка?

27. У каждой ли линии второго порядка есть сопряженные диаметры? Почему?

28. Верно ли, что сопряженные диаметры линии второго порядка имеют сопряженные направления?

29. Сколько направлений сопряжено направлению вектора , если

а) задаёт не асимптотическое направление;

б) - вектор асимптотического направления относительно центральной линии;

в) - вектор асимптотического направления относительно нецентральной линии второго порядка?

30. Сколько общих диаметров могут иметь:

а) эллипс и гипербола;

б) эллипс и парабола;

в) две параболы;

г) парабола и пара параллельных прямых?

31. В тех случаях, когда возможно, постройте общий диаметр двух линий второго порядка и :

а)

..

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

32. Изобразите прямую, содержащую ту хорду, для которой точка М является серединой:

М

33. Направления осей координат сопряжены относительно линии второго порядка. Как это скажется на общем уравнении этой линии?

34. Сколько главных направлений может существовать относительно линии второго порядка?

35. Что можно сказать о главных направлениях линии второго порядка, заданной каноническим уравнением?

36. Может ли главное направление линии второго порядка совпадать с её асимптотическим направлением?

37. Почему главный диаметр является осью симметрии линии второго порядка? Верно ли, что ось симметрии линии второго порядка является главным диаметром этой линии?

38. Сколько главных диаметров может иметь линия второго порядка?

39. Почему любая линия второго порядка имеет хотя бы одну ось симметрии?

40. Как, зная общее уравнение линии второго порядка, написать уравнение главного диаметра этой линии?

41. Дано изображение линии второго порядка γ. В каждом из случаев а)-в) изобразите такую ПДСК ,чтобы в этой системе координат линия γ задавалась общим уравнением, в котором:

а) ;

б) ;

в) =

а) б) в)