Похідна функція, що задана параметрично
Нехай Виключити параметри t, то функція виражається явно.
похідна функція, яка задана параметрично, визначається так:
Приклад: = 3t2;
Приклад: Знайти похідну функції
Щоб знайти похідну від неявної функції F (x, y) = 0, досить взяти похідну від кожної частини рівняння і визначити звідти розглядаючи у як функцію від х, наприклад.
х2 + у2 = R2; 2x + 2y ∙y’ = 0; y’ = -
Нехай маємо функцію у = ах, а > 0, а ≠ 1. Покажемо, що y’ = а’ lna.
Про логарифмуємо функцію і візьмемо похідну з обох частин.
ln y = ln aх, =
Практична робота по темі:
Загальна схема дослідження функції
Мета:студенти повинні навчитись використовувати похідну для дослідження деяких функцій.
Студенти повинні знати: означення похідної , необхідні та достатні умови існування диференційованості .
Студенти повинні вміти:виконувати дослідження функції за допомогою похідної
Література:Л – 1, стор. 246 –266 ., Л – 2, стор. 98 – 105
Л – 6, стор. 286 - 316, Л – 10, стор. 84 – 96,
Хід роботи
1. Повторення раніше вивченого.
a) За якою схемою досліджують функцію?
b) Які існують умови зростання і спадання функції?
c) Як знаходять точки екстремуму?
2. Виконання індивідуального завдання.
Методичні рекомендації
Загальна схема дослідження функції. Побудова графіків
Дослідження та побудова графіка функції рекомендується проводити за схемою:
1) знайти область існування функції D (f);
2) дослідити функцію на неперервність, знайти точки розриву, якщо вони існують, і знайти односторонні границі в точках розриву;
3) з’ясувати, чи функція парна чи непарна, чи ні та, ні та;
4) знайти точки екстремуму функції і записати інтервали зростання і спадання функції;
5) знайти точки перетину графіка функції і визначити інтервали випуклості та вгнутості графіка;
6) знайти асимптоти графіка функції, якщо вони існують;
7) побудувати графік функції, використовуючи отримані результати, за необхідності можна додатково знаходити точки графіка, надаючи аргументу х ряд значень, та отримати відповідні значення у.
Практична робота по темі:
Визначення похідних функції багатьох змінних
Практична робота по темі:
Методи інтегрування.
Мета:студенти повинні навчитись знаходити інтеграли.
Студенти повинні знати: означення інтегралів, первісної, невизначених інтегралів.
Студенти повинні вміти:користуватися таблицею інтегралів, обчислювати табличні інтеграли , інтеграли за допомогою методу підстановки
Література:Л – 1, стор. 330 – 336 ., Л – 6, стор. 326
Л – 10, стор.119 – 124, Л – 2, стор. 134– 141 .
Хід роботи
- Повторення раніше вивченого.
a) Що називають інтегралом?
b) Сформулювати теорему про існування первісної.
c) Які основні властивості невизначеного інтегралу ?
- Виконання індивідуального завдання.
Методичні рекомендації
Заміна змінної (метод підстановки) в невизначеному інтегралі
Нехай потрібно знайти інтеграл , причому безпосереньо підібрати первісну для неможливо, хоч знаємо що вона існує. Зробимо заміну (деякий вираз приймаємо за t а решта за d(t)) тобто x = φ(t), де – неперервна функція з неперервною похідно, яка має обернену.
Тоді dx = φ’(f) dt. Маємо рівність
Заміну х = вибирають так, щоб можна було обчислити невизначений інтеграл який є в правій частині рівності
Приклад 1. Знайти інтеграл
Розв’язання.Зробимо заміну t = sinx, тоді dt = cos dx.
Маємо
Приклад 2.Знайти інтеграл
Розв’язання.Нехайt = 1 + x2, тоді dt = 2xdx.
Маємо
Інтегрування по частинах
Нехай u і v - дві диференційовані функції від х. Тоді диференціал добутку рівний d(uv) = udv vdu.
Інтегруючи цю рівність, отримуємо
або
Приклад.Знайти інтеграл
Розв’язання.Інтегруючи частинами, отримаємо
Приклад.Знайти інтеграл
Розв’язання.Інтегруючи частинами, отримаємо
Практична робота по темі:
Інтегрування раціональних функцій
Мета:студенти повинні навчитись виконувати інтегрування раціональних функцій
Студенти повинні знати: означення інтегралів, первісної, невизначених інтегралів.
Студенти повинні вміти:користуватися таблицею інтегралів, обчислювати табличні інтеграли , інтегрувати функції, які містять раціональні функції.
Література:Л – 1, стор. 352 –355 ., Л – 2, стор. 142 – 147
Л – 6, стор. 330 - 333, Л – 10, стор. 131– 135.
Хід роботи
1. Повторення раніше вивченого.
a) Яку дію називають інтегруванням?
b) Як розкласти правильний дріб на доданки ?
c) Яка схема інтегрування раціональних функцій?
2. Виконання індивідуального завдання.
Методичні рекомендації
1) 2)
3) 4)
1. В інтегралі
2. Інтеграл виду
Отже
3. Інтеграл виду виділенням повного квадрату підкореневого виразу зводиться до видів: при а >0, або при а < 0, які розглядались як табличні («довгий» логарифм, або арксинус).
4. Інтеграл виду зводиться до суми двох
Перший інтеграл типу а другий є не що інше як
( не враховуючи сталих коефіцієнтів що є перед інтегралами)
Приклад.Знайти інтеграл .
Розв’язання.Враховуючи, що
Послідовно дістаємо:
Приклад.Знайти інтеграл
Розв’язання.Простими перетвореннями зробимо в чисельнику похідну знаменника і розіб’ємо інтеграл на суму двох інтегралів.
Практична робота по темі:
Застосування інтегралів.
Мета:студенти повинні навчитись обчислювати визначені інтеграли.
Студенти повинні знати:таблицю інтегралів та методи інтегрування, формулу Ньютона-Лейбниця.
Студенти повинні вміти:використовувати визначний інтеграл для розв’язування різноманітних задач.
Література:Л – 1, стор. 362 – 411, Л – 6, стор. 355 – 410 .
Л – 10, стор.140 – 166, Л – 2, стор. 161– 175 .
Хід роботи
- Повторення раніше вивченого.
a) Дайте означення визначеного інтеграла?
b) Перерахуйте основні властивості визначеного інтеграла .
c) В чому полягає геометричний зміст визначеного інтегралу ?
- Виконання індивідуального завдання.
Методичні рекомендації
Якщо на відрізку функція , то як відомо, площа криволінійної трапеції обмеженою кривою , віссю та прямими , рівна .
Якщо ж на , то визначений інтеграл . За абсолютною величиною він рівний площі відповідної криволінійної трапеції
Якщо потрібно обчислити площу, обмежену кривими і прямими , за умови, що , то досить обчислити інтеграл
.
Приклад 1.Знайти площу, обмежену кривими .
Розв’язання.Знаходимо точки перетину кривих прирівнюючи функції
Отже враховуючи (7), маємо
Приклад 2.Знайти об’єм тіла обертання, утвореного обертанням еліпса навколо осі.OX
| Розв’язання.Шуканий об’єм рівний . Знайдемо з рівняння еліпса . |
Враховуючи (7) об’єм тіла обертання рівний
Приклад 3.Знайти довжину кардіоїди .
Розв’язання.Спочатку побудуємо кардіоїду, надаючи
значення кута .
| Знайдемо . Змінюючи від 0 до , отримаємо половину шуканої довжини Отже, маємо |
Практична робота по темі:
Диференціальні рівняння з відокремленими змінними
Мета:студенти повинні навчитись обчислювати диференціальні рівняння з відокремленими змінними
Студенти повинні знати: означення диференційних рівнянь, методи розв’язання таких рівнянь, таблицю інтегралів..
Студенти повинні вміти:розв’язувати рівняння І – го порядку, диференціальні рівняння з відокремленими змінними, однорідні диференційні рівняння.
Література:Л – 1, стор. 421 - 3455 Л – 6, стор. 426 -435 ,
Л – 10, стор.174 -177, Л – 2, стор. 181 – 190 .
Хід роботи
- Повторення раніше вивченого.
a) Які рівняння називають диференційними?
b) Які види розв’язків має диф.рівняння ?
c) Як розв’язуються диференціальні рівняння з відокремленими змінними?
- Виконання індивідуального завдання.
Методичні рекомендації
Рівняння з відокремленими змінними
Якщо диференціальне рівняння першого порядку може бути представлене P (x) dx = Q (y) dy
де P (x) і Q (y) – функції лише однієї змінної.
Про інтегрувавши обидві частини, отримуємо загальний розв’язок (загальний інтеграл)
Однорідні диференціальні рівняння
Однорідним рівнянням називають рівняння у ’= f(x,y) права частина якого f(x,y) є однорідною функцією нульового виміру відносно х та у. яка задовольняє умову f(tx, ty) = tk f(x,y), де k – вимір або степінь однорідності.
Якщо k = 0, маємо функцію нульового виміру. Однорідну функцію нульового виміру завжди можна представити як функцію відношення змінних або . ( Це рівноцінно тому, що або ).
При його інтегруванні вводиться нова змінна або , що веде до рівняння з відокремленими змінними.
Приклад. Розв’язати диференціальне рівняння ( ех + 2) у’ = уех;
Розв’язання.Враховуючи, що у' = , можна відокремити змінні в рівнянні
( ех + 2) = уех;
Інтегруючи обидві частини, матимемо
звідси, у = с(ех +2) – загальним розв’язок заданого ДР.
Приклад. Розв’язати диференціальне рівняння (1+у2)dх-хуdу=0
Розведемо змінні в рівнянні (1+у2)dх = хуdу
проінтегруємо кожну частину
Приклад.Розв’язати рівняння ху = х + у.
Розв’язання.Поділимо обидві частини рівняння на х, маємо . Перевіримо функцію на однорідність f(x,y) = ; f(tx, ty) =1 отже права частина рівняння однорідна функція нульового виміру. Введемо нову змінну , тоді у = ux; . Підставляючи це у вихідне рівняння, отримаємо
.
Отже . Тоді загальний розв’язок рівний .
Практична робота по темі:
Диференціальні рівняння вищих порядків
Практична робота по темі:
Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків зі сталими коефіцієнтами