Скалярное произведение 2-х векторов и его свойства

Пусть даны два вектора и , угол между, которыми равен .

Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин

этих векторов на косинус угла между ними: .

Если один из векторов нулевой, то их скалярное произведение в соответствии с

определением равно нулю: ( a , 0 ) = ( 0 , b ) = 0 .

Скалярное произведение двух векторов:

- положительно, если угол между векторами острый ;

- отрицательно, если угол между векторами тупой .

Скалярное произведение ( a , a), равное | a | 2, называется скалярным квадратом.

Рассмотрим свойства скалярного произведения.

1 ( П е р е м е с т и т е л ь н ы й закон )

Доказательство:

2. .

Доказательство. Ограничимся случаем, когда λ > 0. В этом случае угол между

векторами и совпадает с углом между векторами и , .

Поэтому . Откуда

Аналогично доказывается и равенство .

3. . ( Р а с п р е д е л и т е л ь н ы й закон )

Доказательство. Используя определение скалярного произведения и свойства проекций

вектора на ось, будем иметь

4.Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда,

когда угол между ними прямой, т.е. когда эти векторы перпендикулярны (ортогональны):

Таким образом, необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух

векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

Рассмотрим, как находится скалярное произведение векторов, если они заданы в

координатной форме. Пусть даны два вектора и .

Их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:

.Длина (модуль) вектора a = ( x, y, z ) равна:

Если оба вектора ненулевые, то косинус угла между ними вычисляется по формуле:

Выражая скалярное произведение и длины векторов через их координаты,

получаем формулу для нахождения косинуса угла между векторами:

Различные уравнения прямой.

1.Общее уравнение прямой:

2.Каноническое уравнение прямой:

k=tgα

y-B=kx

y=kx+B

3.Ур-е пучка прямых, проходящих через заданную точку:

y=kx+b

y=kx+ -k

y- =kx-k

4.Ур-е прямой. проходящей через 2 заданные точки:

y- =k(x- )

k=

y-

Гипербола.

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от

которых до двух заданных точек F1 (с;0)и F2 (-с;0), называемых фокусами гиперболы, есть вели-

чина постоянная =2а.

Здесь начало координат является центром симметрии гипер-

болы, а оси координат – её осями симметрии. Отрезок F1F2 = 2 с , где , c называется фокуснымрасстоянием. Отрезок AB = 2 a называется действительной осью гиперболы, а отрезок CD = 2 b – мнимой осьюгиперболы.

Число 𝛏= c / a , e > называется эксцентриситетомгиперболы. Прямые y = ± ( b / a ) x называются

асимптотами гиперболы. Прямые х= называются директрисами гиперболы.

Уравнение гиперболы :

Доказательство:


Наши рекомендации