Среднеквадратичный критерий

Предполагает минимизацию суммы квадратов ошибки в узловых точках:

где y_i -значение исходной функции в точке х_i (табличное);

F(х_i) -значение аппроксимирующей функции.

Среднеквадратичный критерий позволяет получить сглаживание кривой, то есть позволяет отфильтровать зашумленные данные, не требуя никакой дополнительной информации о шумовых характеристиках помех.

МИНИМАКСНЫЙ КРИТЕРИЙ ИЛИ КРИТЕРИЙ ЧЕБЫШЕВА

Минимаксный критерий Чебышева определяется как:

Если применение среднеквадратичного критерия уменьшает среднеквадратичную ошибку, при этом допуская отдельные большие ошибки, то чебышевское приближение - минимаксное - уменьшает экстремальную наибольшую ошибку. По этому этот критерий используется, когда необходимо при аппроксимации избежать больших ошибок.

Минимаксный критерий также не использует дополнительную информацию о шумовых характеристиках помех.

ВЕРОЯТНОСТНО-ЗОНАЛЬНЫЙ КРИТЕРИЙ

К данным критериям относится целая группа критериев. Данные критерии используют (требуют) дополнительную информацию о шумовых характеристиках объекта:

- обобщенный метод наименьших квадратов - ковариационные матрицы шума;

- максимальное правдоподобие - распределение вероятностей и т.д.

ТОЧНОСТЬ

Выбор точности приближения осуществляется исходя из условий задачи и выбранного критерия.

На практике наибольшее распространение получил метод наименьших квадратов, использующий среднеквадратический критерий.

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть задана таблица измерений:

xi	x1	x2	…	xn
F(x)	y1	y2	…	yn

Тогда задача формулируется следующим образом: для функции F(x_i), заданной таблицей, найти функции F определенного вида так, чтобы сумма квадратов:

В качестве приближающих функций в зависимости от характера точечного графика функции f рассмотрим следующие функции:

- степенная

- показательная

- дробно-линейная

- логарифмическая

- гиперболическая

- дробно-рациональная

- линейная

- квадратный трехчлен

a, b, m, c – неизвестные параметры. Когда осуществлен выбор приближающей функции, то задача приближения сводится к определению значения этих параметров.

Рассмотрим задачу в общем виде.

Приближающая функция имеет общий вид:

Сумма квадратов:

Чтобы найти минимум функции , используем необходимое условие экстремума:

т. е.

Решив эту систему трех уравнений с тремя неизвестными а, в, с мы и получили конкретный вид функции F(x, a, b, c).

Естественно, что F(x_i) отличается от y_i , но отношения

будут минимальны в среднеквадратичном случае.

Рассмотрим метод наименьших квадратов для различных функций.

ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ.

Разделив каждое уравнение на n, получается:

Введем обозначения:

Таким образом, получается система линейных уравнений с неизвестными: a и b:

Разрешив данную систему уравнений относительно неизвестных параметров а и b, определим искомую функцию

Результаты вычислений лучше всего оформить в виде таблицы

						E

Значение E определяет близость аппроксимирующей функции к исходной. E определяется по следующей формуле:

Естественно, чем меньше E, тем аппроксимирующая функция ближе к исходной функции.

КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН.

После преобразования получается система линейных уравнений с неизвестными: a, b, c.

Разрешив данную систему уравнений относительно неизвестных параметров а, b и с, определим искомую функцию .

Результаты вычислений лучше всего оформить в виде таблицы

									E

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ

Степенная функция имеет вид:

Если прологарифмировать данное уравнение, то можно получить следующее:

Введя новые переменные:

,

получим следующее линейное уравнение:

.

Определив параметры А и В (см. линейную функцию), можно определить параметры степенной функции:

Результаты вычислений лучше всего оформить в виде таблицы

								E

Следует заметить, что данный алгоритм справедлив только для положительных значений x и y.

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ.

Показательная функция имеет вид:

Если прологарифмировать данное уравнение, то можно получить следующее:

Введя новые переменные:

,

получаем следующее линейное уравнение:

Определив параметры А и В (см. линейную функцию), можно определить параметры степенной функции:

Результаты вычислений лучше всего оформить в виде таблицы

							E

Следует заметить, что данный алгоритм справедлив только для положительных значений y.

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ.

Введя новую переменную:

,

получаем следующее линейное уравнение:

Результаты вычислений лучше всего оформить в виде таблицы

							E

Следует заметить, что данный алгоритм справедлив только для положительных значений u.

ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ.

Преобразуем следующим образом:

Введя новую переменную:

,

получаем следующее линейное уравнение:

Результаты вычислений лучше всего оформить в виде таблицы

							E

Следует заметить, что данный алгоритм справедлив только для y, отличных от нуля.

ГИПЕРБОЛА.

Введя новую переменную:

,

получаем следующее линейное уравнение:

Результаты вычислений лучше всего оформить в виде таблицы

							E

ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНАЯ.

Преобразуем следующим образом:

Введя новые переменные:

,

получаем следующее линейное уравнение:

Результаты вычислений лучше всего оформить в виде таблицы

								E

Следует заметить, что данный алгоритм справедлив только для x и y, отличных от нуля.