Линейное приближение уравнений, описывающих движения вблизи положения равновесия

Будем предполагать, что в уравнениях Лагранжа, описывающих движение

(2.1)

все непотенциальные части обобщенных сил являются функциями только q и и не зависят явно от t.

Пусть — исследуемое положение равновесия. Переместим начало координат в точку , т. е. будем считать, что и что — отклонения обобщенных координат от их равновесных значений. Тогда в 2n-мерном фазовом пространстве q, положению равновесия тоже соответствует начало координат, так как при равновесии все q равны нулю.

Исследуя движения, происходящие в малой окрестности положения равновесия, мы будем считать, что во время таких движений все и — малые величины одного и то же порядка малости. Ограничимся в уравнениях лишь малыми первого порядка и пренебрежем малыми второго и более высоких порядков.

Чтобы сохранить в этих уравнениях лишь малые первого порядка, разложим функции Т, V и в ряды по всем независимым переменным q и и ограничимся в разложениях Т и V малыми второго порядка, а в разложении — малыми первого порядка.

В рассматриваемом стационарном случае

и чтобы сохранить в разложении Т лишь малые второго порядка, надо разложить в ряды коэффициенты и ограничиться в этих разложениях «нулевыми» членами, не содержащими множителей , т. е. положить

Обозначим полученные так величины через тогда

(2.2)

Это выражение является квадратичной формой от обобщенных скоростей с постоянными коэффициентами. Из физического смысла понятия кинетической энергии следует, что функция Т равна нулю лишь тогда, когда все одновременно равны нулю, и положительна, если хотя бы одна из отлична от нуля. Квадратичная форма, удовлетворяющая этим условиям, называется положительно определенной, а матрица, составленная из ее коэффициентов,

называется матрицей положительно определенной квадратичной формы, или просто положительно определенной матрицей.

Обратимся теперь к выражению для обобщенной силы

и разложим это выражение в ряд

(2.3)

где многоточием заменены остальные (нелинейные) члены разложения. Величина, стоящая в первой квадратной скобке, равна нулю, так как она равна значению обобщенной силы в положении равновесия

Введем обозначения

Пренебрегая в разложении (2.3) нелинейными членами и используя только что введенные обозначения, получаем

(2.4)

Подставим теперь в уравнения Лагранжа (2.1) выражения (2.2) и (2.4) для Т и соответственно:

(2.5)

В векторно-матричной записи эта система уравнений имеет вид

(2.6)

здесь A, — квадратные матрицы, составленные из элементов соответственно, a q является n-мерным вектором-столбцом, составленным из обобщенных координат.

Линейные дифференциальные уравнения (2.5) (или (2.6)) называются уравнениями линейного приближения. Они приближенно описывают движения, происходящие в малой окрестности положения равновесия. Уравнения линейного приближения (2.5) сами по себе не определяют размеров области, в пределах которой точные нелинейные уравнения (2.1) могут быть заменены этими линейными уравнениями.

Границы этой области зависят от отброшенных нами членов высшего порядка в разложениях функций Т, V и . В частных случаях может оказаться, что эта область весьма велика, например, заведомо охватывает все возможные движения системы.

Вернемся к уравнениям линейного приближения (2.6). Из теории дифференциальных уравнений известно, что решение системы уравнений (2.6) имеет вид

где -корни уравнения

(2.7)

которое называется характеристическим уравнением линейного приближения. Каждый элемент этого определителя n-го порядка является квадратичным полиномом относительно λ; поэтому левая часть характеристического уравнения линейного приближения — характеристический полином — представляет собой полином степени m=2n.

Уравнения (2.6) отличаются от общего случая системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами только тем, что матрица А не произвольна, а всегда является матрицей положительно определенной квадратичной формы.

Выделим теперь два частных случая, когда уравнения (2.6) принимают более специальный вид.

Консервативная система. В случае консервативной системы , поэтому все и уравнения линейного приближения (2.6) сводятся к виду

(2.8)

Характеристическое уравнение (2.7) соответственно имеет вид

(2.9)

Если дополнительно предположить, что не только А, но и С является матрицей положительно определенной квадратичной формы, то все корни характеристического уравнения (2.9) будут чисто мнимыми.

Диссипативная система. Пусть теперь , но зависят лишь от обобщенных скоростей. В этом случае вблизи положения равновесия

и

Разумеется, система является диссипативной не всегда, т. е. не при любом выборе чисел . Найдем условия, которым должны удовлетворять числа Для того, чтобы система была диссипативной. С этой целью введем квадратичную форму

(2.10)

тогда

(2.11)

Функция R называется функцией Релея.

Если рассматриваемая система диссипативна, то

где — мощность непотенциальных сил.

Но в силу (2.11) и теоремы Эйлера[6] об однородных функциях

и из условия следует, что , если хоть одна обобщенная скорость отлична от нуля.

Таким образом, для диссипативной системы функция Релея является положительно определенной квадратичной формой, и в уравнениях движения

будут матрицами положительно определенных квадратичных форм.