Теоремы сложения и умножения вероятностей случайных событий

Если случайные события А и В являются несовместными собы­тиями с известными вероятностями, то справедлива следующая теорема, называемая теоремой сложения.

Теорема 8.1. Вероятность наступления случайного события А или несовместного с ним события В равна сумме вероят­ностей этих событий:

Р(А или В) = Р(А) + Р(В) (8.5)

Пример8.2. В коробке находятся 2 упаковки аспирина, 3 — анальгина и 5 — амидопирина. Наугад извлекается одна упаков­ка. Найти вероятность того, что ею окажется упаковка аспирина или анальгина.

Решение. Вероятность извлечения упаковки аспирина (веро­ятность события А) в соответствии с формулой классической вероятности равна: Р(А) = ²/₁₀=0,2

Аналогично вероятность извлечения упаковки анальгина (ве­роятность события В) равна: Р(В) =³/₁₀=0,3

Поскольку данные события являются несовместными (если извлечена упаковка аспирина, то при этом упаковка анальгина не извлечена, и наоборот), для нахождения искомой вероятности в соответствии с теоремой 8.1 следует сложить найденные веро­ятности: Р(А или. В) = Р(А)+ Р(В) = 0,2 + 0,3 = 0,5.

Определение. Случайное событие Л, состоящее в том, что случайное событие А не произошло, называется событием, про­тивоположным событию А.

Для противоположных событий справедлива следующая тео­рема.

Теорема 8.2. Сумма вероятностей наступления случайного события А и противоположного ему события А равна единице: P(A)+P(Ā)=1 (8.6)

Например, вероятность выпадения герба при однократном под­брасывании монеты равна 0,5, вероятность выпадения цифры также равна 0,5. Поскольку выпадение цифры представляет собой случайное событие, состоящее в невыпадении герба, то выпаде­ние цифры является событием А, противоположным событию А (выпадение герба). В то же время сумма вероятностей этих со­бытий действительно равна единице.

Определение. Случайные события А и В называются незави­симыми, если вероятность осуществления каждого из них не зависит от того, осуществилось ли при этом другое событие.

Например, при одновременном подбрасывании двух монет слу­чайное событие А, состоящее в выпадении герба у одной монеты, и событие В, состоящее в выпадении герба у другой монеты, являются независимыми событиями, поскольку вероятность собы­тия А равна 0,5 и не зависит от того, осуществилось ли при этом событие В, и наоборот, вероятность события В также равна 0,5 и не зависит от того, произошло ли при этом событие А.

Если случайные события Л и В являются независимыми со­бытиями с известными вероятностями, то справедлива следую­щая теорема, называемая теоремой умножения вероятностей для независимых событий.

Теорема 8.3. Вероятность наступления двух независимых случайных событий А и В равна произведению вероятностей этих событий: Р(А и В) = P(A)*P(B) (8.7)

Пользуясь этой теоремой, легко определить, например, веро­ятность выпадения гербов на двух одновременно подбрасывае­мых монетах. Действительно, поскольку, как уже обсуждалось выше, событие А, состоящее в выпадении герба у первой монеты, и событие В, состоящее в выпадении герба у второй монеты, являются независимыми и вероятности каждого из них равны 0,5, то по формуле (8.7) получим: Р(А и В) = Р(А)*Р(В) = 0,5*0,5 = 0,25.

Определение. Случайное событие В называется зависимым от случайного события А, если вероятность осуществления события В зависит от того, произошло ли событие А.

Определение. Вероятность осуществления случайного события В, вычисленная при условии наступления события А, называется условной вероятностью события В и обозначается Р(В/А).

Если случайные события Л и 6 являются зависимыми событиями, причем, например, событие В зависит от события А, то справедлива следующая теорема, называемая теоремой умноже­ния вероятностей для зависимых событий.

Теорема 8.4. Вероятность наступления случайного события А и зависящего от него события В равна произведению вероят­ности события А на условную вероятность события В: Р(А и В) = Р(А) * Р(В/А) (8.8)

Пример 8.3.В корзине находятся 2 белых и 3 красных шара. Из корзины извлекают наугад один шар и, не возвращая его в корзину, извлекают наугад еще один шар. Найти вероятность того, что оба извлеченных шара окажутся белыми.

Решение. Пусть случайное событие А состоит в том, что пер­вый извлеченный шар окажется белым. Вероятность этого собы­тия в соответствии с классическим определением вероятности равна: P(A)=²/₅=0,4

поскольку всего в корзине 5 шаров, 2 из которых белые.

Случайное событие В, состоящее в том, что второй извлечен­ный шар окажется белым, является зависимым от события А, поскольку в случае наступления события А в корзине останется только один белый шар из четырех и вероятность события В будет равна P(В/A) = 0,25, а в случае ненаступления — два белых шара из четырех и вероятность события В окажется равной Р(В/Ā) = 0,5.

Вследствие этого для определения вероятности того, что оба извлеченных шара окажутся белыми, следует воспользоваться теоремой умножения вероятностей зависимых событий, в резуль­тате чего найдем искомую вероятность:

Р(А и В)=Р(А) * P(B/A) = 0,4*0,25 = 0,1.

Случайные величины

Определение. Случайной величиной называют такую величину, которая в результате эксперимента принимает какое-либо одно значение из множества ее возможных значений, причем до экс­перимента невозможно предсказать, какое именно.

Случайными величинами являются, например, количество оч­ков, выпадающих при бросании игрального кубика, число посе­тителей аптеки в течение дня, количество яблок на дереве и т. д.

Случайными величинами являются также температура боль­ного в некоторое наугад выбранное время суток, масса наугад выбранной таблетки некоторого препарата, рост наугад выбран­ного студента и т. д.

Однако с математической точки зрения между такими слу­чайными величинами, как, например, число посетителей аптеки в течение дня (обозначим эту случайную величину X,) и рост наугад выбранного студента из некоторой группы студентов (ве­личина Х₂), имеется принципиальное различие, а именно: для величины X₁, можно перечислить все ее возможные значения (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...), тогда как для величины Х₂ этого сделать нельзя, поскольку эта величина в результате измерения может принять любое значение из отрезка [h_min, h_max], где h_min и h_max — соответ­ственно минимальный и максимальный рост студентов группы. Случайные величины принято обозначать прописными буква­ми латинского алфавита - X, Y, Z и т. д., а их возможные значения — соответствующими строчными буквами с числовыми индексами. Например, значения случайной величины X обозна­чают следующим образом: х₁, х₂, х₃ и т. д.