Продуктивные модели Леонтьева
Матрица А все элементы которой неотрицательны называется продуктивнойесли для любого вектора Y с неотрицательными компонентами существует решение уравнения баланса причем все элементы вектора Х > 0. В таком случае модель Леонтьева называется продуктивной.
Существует математическая теория исследования и решения уравнения баланса. Не вдаваясь в подробности, остановимся на некоторых основных моментах.
Теорема. Если для матрицы А с положительными элементами и вектора Y с положительными компонентами уравнение баланса имеет решение Х с положительными компонентами, то А – продуктивна. Иными словами достаточно установить наличие положительного решения уравнения баланса хотя бы для одного значения вектора Y, чтобы матрица А была продуктивна. Перепишем уравнение баланса с использованием единичной матрицы в виде:
Если существует обратная матрица (Е –А)-1, то существует и единственное решение этого уравнения.
(1)
Матрица (Е –А)-1 – называется матрицей полных затрат.
Существует несколько критериев продуктивности матрицы А. Один из них говорит, что А продуктивна, если сумма её элементов по любому её столбцу (строк) не превосходит единицы:
и существует номер j, что
Выясним экономический смысл матрицы полных затрат S = (Е –А)-1, для чего зададимся единичными векторами конечного продукта Y1(1,0,0,0…0), Y2(0,1…0),..Yn(0,…1) тогда по (1) соответствующие вектора валового продукта будут:
,
,
Следовательно, каждый элемент Sij матрицы S есть величина валового выпуска продукции i – отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j – ой отросли Yj = 1 (j = 1,n).
III. Элементы векторной алгебры
Основные понятия
Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называютсяскалярными. Примерами являются: длинна, площадь объем, работа, масса.
Величины, которые определяются не только своим численным значением, но и направлением называются векторами, пример – скорость, сила.
Определение. Направленный отрезок, на котором задано начало, конец и направление называется вектором. Если А и В – начало и конец, то вектор можно обозначить или
.
А B
Расстояние между началом и концом вектора называют его длиной.
1. Векторы и
называют коллинеарными, если они лежат на одной или параллельных прямых.
2. Векторы и
называют равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и их длины равны.
В любой системе координат вектор можно охарактеризовать своими координатами =(x,y,z). Пусть в системе координат OXYZ координаты начала и конца вектора соответственно А (x1, y1, z1) и В (x2, y2, z2). Тогда координаты этого вектора определяются формулой: x = x2 - x1, y = y2-y1, z = z2-z1.
Длина вектора – модуль вектора:
Нулевой вектор (000). Нулевой длины.
Операции над векторами
Пусть даны два вектора =(a1,a2,a3) и
=(b1,b2,b3)
1. Сложение. Суммой векторов и
называется третий вектор
=(с1,с2,с3) координаты которого равны сумме соответствующих координат a и b
c1 =a1+b1, c2=a2+b2, c3=a3+b3 .
2. Произведение. Произведение вектора a ≠ 0 на число λ ≠ 0 называется вектор λ , координаты которого соответственно равны λa1, λa2, λa3.
Можно показать, что для получения суммы векторов нужно совместить конец вектора с началом вектора
, тогда
=
+
будет направлен от начала первого к концу второго (рис. 1).
|
|
|
|
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-37.gif)
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-38.gif)
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-39.gif)
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-11.gif)
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-11.gif)
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-11.gif)
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-11.gif)
3. Вычитание.
Под разностью векторов и
понимается вектор
такой, что
.
![]() |
![]() | |||
|
Через координаты разность векторов и
будет равна вектору
, причем
;
;
.
Т.е.
4. Основные свойства линейных операций.
1. +
=
+
2.( +
)+
=
+(
+
)
3. λ ·( α · )=(λ·
)·α
4.(α+λ)· =α·
+λ·
5.λ·( +
)=λ·
+λ·
Пусть даны два вектора =(a1,a2,a3) и
=(b1,b2,b3) из определений коллинеарности и произведения вектора на число следует, что a и b коллинеарны в том и только в том случае если их координаты пропорциональны
- условие коллинеарности векторов
5. Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением двух векторов и
называют число равное
·
=
·
·cosα (1), где a - угол между
и
. Скалярное произведение можно выразить через их координаты следующим образом:
пусть даны =(a1,а2,а3) и
=(b1,b2,b3).Тогда,
·
(2)
(все смешанные произведения = 0) .Сопоставляя (1) и (2) получим:
;
Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:
1). ·
=
·
;
2). ( ·λ)·
=(
·
)·λ
3). ·(
+
)=
+
4). =|
|2
5). ·
=0 если вектор
перпендикулярен вектору
.
6. Векторное произведение векторов.
Векторным произведением вектора на
называется вектор с, который
а.) перпендикулярен векторам и
т.е.
┴
и
┴
.
b.) имеет длину численно равную площади параллелограмма построенного на векторах
и
как на сторонах (рис.2), т.е. |с| = |а|·|b|·sinφ, где φ=(a^b).
с.)Векторы
и
должны образовывать правую тройку (три вектора образуют правую тройку векторов, если с конца третьего вектора с кротчайший поворот от первого а, ко второму b, виден совершающимся против часовой стрелки, и левую если по часовой).
Векторное произведение обозначается ×
=
или [
]=
Векторное произведение векторов обладает следующими свойствами:
1.
×
= −(
×
)
|
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-11.gif)
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-15.gif)
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-11.gif)
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-15.gif)
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-11.gif)
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-15.gif)
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-15.gif)
|
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-158.gif)
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-11.gif)
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-15.gif)
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-11.gif)
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-15.gif)
|
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-164.gif)
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-11.gif)
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-15.gif)
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-26.gif)
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-11.gif)
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-26.gif)
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-15.gif)
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-26.gif)
Векторное произведение можно выразить через координаты:
×
=
=
=
Где ,
,
– единичные орты, направленные вдоль осей координат
Это легко доказывается (делать этого не будем).
7. Смешанное произведение векторов.
|
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-11.gif)
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-15.gif)
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-26.gif)
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-182.gif)
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-15.gif)
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-26.gif)
|
|
|
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-188.gif)
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-189.gif)
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-190.gif)
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-191.gif)
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-192.gif)
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-192.gif)
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-190.gif)
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-191.gif)
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-196.gif)
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-11.gif)
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-15.gif)
![Продуктивные модели Леонтьева Продуктивные модели Леонтьева - student2.ru](/images/matematika/produktivnye-modeli-leonteva-418076-26.gif)
=
×
. (рис. 4)
![]() | |||
| |||
Имеем ,
Где S – площадь параллелограмма, построенного на векторах и
, а
– высота параллелепипеда, тогда
.Знак «+» если эти вектора образуют правую тройку и знак «–» если левую, где
- объем параллелепипеда.
Свойства смешанного произведения:
1)
2)
3)
4)(axb)c=-(bxa)c и т.д.
Выражение смешанного произведения через координаты:
;
Без доказательства.
3. Векторное пространство и п – мерный вектор
Проведем обобщение ранее введенных понятий вектора и пространства для трехмерных систем на п – мерный случай.
Определение 1. Любой упорядоченный набор из п действительных чисел а1, а2, … ап называется п – мерным вектором , при этом числа составляющие упомянутый набор называются координатами (компонентами) вектора
.
Определение 2. Совокупность всех п – мерных векторов называется п – мерным векторным пространством Rn. Координаты п – мерного вектора а можно расположить либо в строку = (а1, а2, …ап) либо в столбец
=
, эти записи называются соответственно вектором – строкой, и вектором – столбцом.
Два вектора с одним и тем же числом координат = (а1, а2, …аn) и
= (b1, b2, …bn) называются равными, если их соответствующие координаты равны т.е. a1=b1, a2=b2 …an=bn . Вектор все координаты которого равны нулю называется нулевым: о = (0,0,…0).
Операции над векторами. Для п – мерных векторов справедливы все те операции для трех мерных векторов о которых мы говорили ранее. Например:
Cos
и т.д.
Введем еще одно важное свойство векторов. Векторы и
называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю т.е.
·
=0
Это условие для трех мерного пространства мы называем условием перпендикулярности векторов и
.