Колебания связанных маятников

Цель работы: изучение основных закономерностей колебаний систем с несколькими степенями свободы на примере двух связанных маятников.

В природе и технике широко распространены колебательные системы, взаимодействующие между собой. К таким системам относятся ионы в кристаллической решетке, сложные молекулы, различные технические конструкции.

Простейшей системой с двумя степенями свободы в механике являются два маятника в виде стержня длиной l с грузами m (диск) на его концах.

Маятники связаны невесомой пружиной с коэффициентом жесткости k. Пружина находится на расстоянии d от точек подвеса, расположенных на горизонтальной прямой (рис.1).

При движении маятников в одной вертикальной плоскости состояние такой системы полностью описывается двумя независимыми параметрами -углами j₁и j₂ отклонения маятников от вертикали, т.е. система имеет две степени свободы.

Уравнение движения для каждого маятника можно получить из общего уравнения динамики вращательного движения стержня с грузом вокруг неподвижной оси:

. (1)

Здесь j - угол поворота, M - момент действующих на тело сил относительно оси подвеса, e - угловое ускорение, I - момент инерции каждого маятника относительно оси подвеса.

На каждый маятник действует сила тяжести m×g, приложенная к центру масс, и сила упругости f=-k×x, k - коэффициент жесткости пружины. Величина деформации x при малых j₁ и j₂ и в соответствии с рис.1 найдется как длина дуги, опирающаяся на прямые d;
x = d×(j₂ - j₁), а сила f = k×d×(j₂ - j₁).

Соответствующие этим силам вращающие моменты сил для малых углов колебаний имеют вид :

M_тяж = - m×g×l×Sinj » - m×g×l×j, (2)

M_упр1 = k×d×(j₂ - j₁)×d = kd²(j₂ - j₁) = - M_упр2 .

Момент сил отрицателен, если он возвращает маятник в положение равновесия. Уравнение (1) для каждого из маятников запишется:

(3)

Маятники могут длительное время колебаться сохраняя, например, положение, изображенное на рис.1. В этом случае f_упр=k×d×(j₂-j₁) или так, как показано на рис.2 f_упр = k×d×(j₂+j₁).

Поэтому введем новые переменные

j₁ + j₂ = Q₁ и j₂ - j₁ = Q₂, (4)

характеризующие относительное движение маятников. Суммируем левые и правые части уравнений (3), поделим сумму на I и используем новые переменные. Это нам даст:

(5)

А если в (3) вычтем из второго уравнения первое, то получим :

(6)

Каждое из уравнений (5) и (6) аналогично дифференциальному уравнению для гармонического колебания (см. лаб. раб. № 1-5-1) .

Собственные частоты колебаний равны:

; (7)

Момент инерции маятника складывается из момента инерции стержня массой m и длиной l₀×(I_ст = m_ст×l₀²/3),момента инерции диска радиусом R и массой m, удаленного на расстояние l от оси подвеса (I_д = m_д×l²+ m_д×R²/2, теорема Штейнера).

I = m_ст×l₀²/3 + m_д×l² + m_д×R²/2, (8)

Решения уравнений (5) и (6), как известно, имеют вид:

Q₁ = А×Cos(w_o1×t + a₁), Q₂ = B×Cos(w_o2×t + a₂ (9)

где A и B амплитуды изменения Q₁ и Q₂ , а a₁ и a₂ - начальные фазы соответственно.

Из (9) и (4) находим закон изменения угла j для каждого маятника:

j₁ = 1/2×(Q₁ - Q₂) = A/2×Cos(w_o1×t + a₁) - B/2×Cos(w_o2×t + a₂) (10)

j₂ = 1/2×(Q₁ + Q₂)= A/2×Cos(w_o1×t + a₁) + B/2×Cos(w_o2×t + a₂)

Из (10) видно, что колебания каждого маятника складываются из двух независимых колебаний с частотами w_o1 и w_o2, определяемых выражениями (7), которые носят название нормальных частот или мод, при этом, как видно из (7), w_o2 > w_o1. Если обратиться к уравнениям (7) ,то в первом из них выражена собственная частота свободных незатухающих колебаний физического маятника . Когда упругая связь не действует, т. е. j₂ - j₁= 0, маятники движутся синхронно в одном направлении параллельно друг другу (синфазно).

Во втором уравнении частота w_o2 > w_o1 за счет действия упругой связи, которая будет максимальна, если маятники движутся точно в противофазе: навстречу друг другу или друг от друга (рис. 2).

При любом другом движении осуществляются колебания с частотой w_k, лежащей в диапазоне от w_o1 до w_o2. Если вклад сил упругости в изменение частоты невелик, т.е. 2×k×d²/I < m×g×l/I, то частоты w_o1 и w_o2 близки, и результат сложения колебаний представляется в виде биений. При этом амплитуда медленно изменяется с частотой биений:

w_б = w_o2 - w_o1 или n_б = n₂ - n₁, (11)

т.к. w = 2×p×n.

Если с помощью внешней периодической силы, частота которой будет возрастать от нуля, действовать на связанную колебательную систему, то при частотах вынуждающей силы n, близких к n₁ и n₂будет наблюдаться два резонанса, т.е. резкое увеличение амплитуды колебаний маятников. Зависимость A= f(n) будет иметь два максимума.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Общий вид прибора представлен на рис.3.

Основание 1 оснащено регулируемыми ножками для вертикальной установки прибора. В основании закреплена колонка 2, на которой укреплены втулка 3 и кронштейн 4. На стержне 5 втулки находятся три подвески 6 с шариковыми подшипниками. К ним подвешены два маятника и стержень 7, возбуждающий колебания.

Маятник состоит из стержня 8 и перемещающегося груза 9. Маятники связаны друг с другом при помощи двух пружин 10, 11, закрепленных в С-образной скобе, которую можно перемещать вдоль стержней маятников.

Возбуждение колебаний осуществляется с помощью приводного диска, закрепленного на валу электродвигателя, который перемещая стержень 7, связанный при помощи двух пружин 10, 11 со стержнем маятника 6, возбуждает его колебания.

Электродвигатель находится в блоке управления и измерений 12. К нижнему кронштейну прикреплена угловая шкала 13, при помощи которой определяется амплитуда колебаний маятников. К нему также прикреплен фотоэлектрический датчик 14, световой поток которого пересекает стержень одного из совершающих колебания маятников.