Обзор результатов о сходимости ряда Фурье

Обозначим через Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru частичные суммы ряда Фурье функции Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru :

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru .

Далее обсуждается сходимость последовательности функций Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru к функции Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru в различных смыслах. Функция Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru предполагается Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru -периодической (если она задана только на промежутке Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru , её можно периодически продолжить).

  • Если Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru , то последовательность Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru сходится к функции Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru в смысле Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru . Кроме того, Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru являются наилучшим (в смысле расстояния в Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru ) приближением функции Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru тригонометрическим многочленом степени не выше Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru .
  • Сходимость ряда Фурье в заданной точке Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru — локальное свойство, то есть, если функции Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru и Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru совпадают в некоторой окрестности Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru , то последовательности Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru и Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru либо одновременно расходятся, либо одновременно сходятся, и в этом случае их пределы совпадают. ( Принцип локализации )
  • Если функция Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru дифференцируема в точке Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru , то её ряд Фурье в этой точке сходится к Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru . Более точные достаточные условия в терминах гладкости функции Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru задаются признаком Дини.
  • Функция, непрерывная в точке Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru , может иметь расходящийся в ней ряд Фурье. Однако, если он сходится, то непременно к Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru . Это следует из того, что для непрерывной в Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru функции Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru последовательность Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru сходится по Чезаро к Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru .
  • Если функция Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru разрывна в точке Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru , но имеет пределы в этой точке справа и слева Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru , то при некоторых дополнительных условиях Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru сходятся к Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru . Подробнее см. модифицированный признак Дини.
  • Теорема Карлесона: если Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru , то её ряд Фурье сходится к ней почти всюду. Это верно и если Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru . Однако, существуют функции из Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru , ряд Фурье которых расходится во всех точках (теорема Колмогорова).
  • Зафиксируем точку Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru . Тогда множество всех непрерывных функций, ряд Фурье которых сходится в этой точке, является множеством первой категории в пространстве Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru . В некотором смысле это означает, что «типичная» непрерывная функция имеет расходящийся ряд Фурье.

6.Гельдера условие.

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru

Пространство Лебега.

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru

Неравенства Гельдера.

Определение 1. Класс функций, интегрируемых по Лебегу со степенью Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru , обозначается Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru ( Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru ) включает в себя функции Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru такие, что Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru . Если Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru , то обозначают Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru . Поэтому полагают Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru .

Замечание 1. Покажем, что если Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru и Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru , то Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru . Для этого докажем Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru . Полагая т Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru для определенности, имеем Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru , откуда Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru . Тогда можно получить аналогичное неравенство и для значений функций: Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru . Рассматривая интегралы левой и правой частей неравенства, получим сходимость интеграла левой части, что доказывает требуемое.

Лемма 1. Для любых Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru выполнено Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru

Доказательство. Положим Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru . Рассмотрим график функции Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru , отметим на оси Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru точку Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru , а на оси Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru точку Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru . Рассматривая соотношение площадей, можем заключить Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru . Эти же площади легко вычислить как площади под графиком функции, т.е. с помощью интегралов. Соответствующие выражения:

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru

Обозначая Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru , получим требуемое. Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru

Определение 2. Числа Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru большие Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru такие, что Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru будем называть сопряженными показателями.

Предложение 1. (Неравенство Гельдера) Пусть Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru , где Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru -- сопряженные показатели. Тогда

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru

Доказательство. Положим Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru . По лемме получим:

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru

Интегрируя полученное неравенство и вспоминая соотношение для сопряженных показателей, получим требуемое неравенство. Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru

Замечание 2. При Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru получается неравенство Буняковского.

Лемма 2. Пусть Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru . Тогда Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru .

Доказательство. Рассмотрим Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru . Учитывая, что Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru , получим, что интеграл равен Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru , тогда по определению Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru . Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru

Гильбертово пространство

Гильбертово пространство — обобщениеевклидова пространства, допускающее бесконечнуюразмерность. Названо в честьДавида Гильберта.

Гильбертово пространство — линейное (векторное) пространство (над полем вещественных или комплексных чисел), в котором для любых двух элементов пространства Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru и Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru определено скалярное произведение Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru , и которое является полным относительно порождённой этим скалярным произведением метрики Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru . Если условие полноты пространства не выполнено, то говорят о предгильбертовом пространстве. Однако, большинство из известных (используемых) пространств либо являются полными, либо могут быть пополнены.

Таким образом, гильбертово пространство есть банахово пространство (полное нормированное пространство), норма которого порождена положительно определённым скалярным произведением и определяется как Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru

Норма в произвольном нормированном пространстве может порождаться некоторым скалярным произведением тогда и только тогда, когда выполнено следующее равенство (тождество) параллелограмма:

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru

Если удовлетворяющее тождеству параллелограмма банахово пространство является вещественным, то отвечающее его норме скалярное произведение задаётся равенством

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru

Если это пространство является комплексным, то отвечающее его норме скалярное произведение задаётся равенством

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru (поляризационное тождество).

ПРИМЕР.

  • Евклидово пространство.
  • Пространство Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru . Его точки суть бесконечные последовательности вещественных чисел Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru , для которых сходится ряд Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru . Скалярное произведение на этом пространстве задаётся равенством

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru .

  • Пространство Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru измеримых функций с вещественными значениями на отрезке Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru с интегрируемыми по Лебегу квадратами — то есть таких, что интеграл

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru

определён и конечен, притом функции, отличающиеся между собой на множестве мере нуль — отождествляются между собой (то есть, формально, Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru есть соответствующее множество классов эквивалентностей). Скалярное произведение на этом пространстве задаётся равенством

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru .

Для пространств Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru и Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru над полем комплексных чисел, последовательностей комплексных чисел и комплекснозначных функций, определение скалярного произведения отличается лишь комплексной сопряжённостью второго сомножителя:

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru ;

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru .

Банахово пространство.

Банахово пространство —нормированное векторное пространство,полноепометрике, порождённойнормой. Основной объект изученияфункционального анализа. Названо по именипольскогоматематикаСтефана Банаха(1892—1945), который с 1922 года систематически изучал эти пространства, используя введённую им аксиоматику.

Пример.

Некоторые примеры банаховых пространств (далее через Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru обозначено одно из полей Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru или Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru ):

  • Евклидовы пространства Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru с евклидовой нормой, определяемой для Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru как Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru , являются банаховыми пространствами.
  • Пространство всех непрерывных функций Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru , определённых на закрытом интервале Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru будет банаховым пространством, если мы определим его норму как Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru . Такая функция будет нормой, так как непрерывные функции на закрытом интервале являются ограниченными. Пространство с такой нормой является полным, а полученное банахово пространство обозначается как Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru . Этот пример можно обобщить к пространству Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru всех непрерывных функций Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru , где Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru — компактное пространство, или к пространству всех ограниченных непрерывных функций Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru , где Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru — любое топологическое пространство, или даже к пространству Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru всех ограниченных функций Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru , где Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru — любое множество. Во всех этих примерах мы можем перемножать функции, оставаясь в том же самом пространстве: все эти примеры являются банаховыми алгебрами.
  • Если Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru — вещественное число, то пространство всех бесконечных последовательностей Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru элементов из Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru , таких что ряд Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru сходится, является банаховым относительно нормы, равной корню степени Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru из суммы этого ряда, и обозначается Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru .
  • Банахово пространство Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru состоит из всех ограниченных последовательностей элементов из Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru ; норма такой последовательности определяется как точная верхняя грань абсолютных величин (модулей) элементов последовательности.
  • Снова, если Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru — вещественное число, можно рассматривать все функции интегрируемыми по Лебегу. Корень степени Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru этого интеграла определим как норму Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru . Само собой, это пространство не будет банаховым, поскольку есть ненулевые функции, чья норма будет равна нулю. Определим отношение эквивалентности следующим образом: Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru и Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru эквивалентны тогда и только тогда, когда норма Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru равна нулю. Множество классов эквивалентности тогда является банаховым пространством; оно обозначается как Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru . Важно использовать именно интеграл Лебега, а не интеграл Римана, поскольку интеграл Римана не порождает полное пространство. Эти примеры можно обобщить. См., например, Lp-пространства.
  • Если Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru и Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru — банаховы пространства, то можно составить их прямую сумму Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru , которая опять-таки будет банаховым пространством. Можно и обобщить этот пример к прямой сумме произвольно большого числа банаховых пространств.
  • Если Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru — замкнутое подпространство банахова пространства Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru , то факторпространство Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru снова является банаховым.
  • Любое гильбертово пространство тоже является банаховым. Обратное неверно.
  • Если Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru и Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru — банаховы пространства над одним полем Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru , тогда множество непрерывных Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru -линейных отображений Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru обозначается Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru . Заметим, что в бесконечномерных пространствах не все линейные отображения автоматически являются непрерывными. Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru — векторное пространство, и, если норма задана как Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru , является также и банаховым.
    • Пространство Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru представляет собой унитарную банахову алгебру; операция умножения в ней задаётся как композиция линейных отображений

11.Базис,ортогональный базис. Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru

12.Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru

Интеграл Лебега

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru

Сверху интегрирование по Риману, снизу по Лебегу

Интеграл Лебе́га — это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций.

Все функции, определённые на конечном отрезке числовой прямой и интегрируемые по Риману, являются также интегрируемыми по Лебегу, причём в этом случае оба интеграла равны. Однако существует большой класс функций, определённых на отрезке и интегрируемых по Лебегу, но неинтегрируемых по Риману.

Определение

Интеграл Лебега определяют пошагово, переходя от более простых функций к сложным. Будем считать, что дано пространство с мерой Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru , и на нем определена борелевская функция Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru .

Определение 1. Пусть Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru — индикатор некоторого измеримого множества, то есть Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru , где Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru . Тогда интеграл Лебега функции Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru по определению:

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru

Определение 2. Пусть Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru — простая функция, то есть Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru , где Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru , а Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru — конечное разбиение Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru на измеримые множества. Тогда

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru .

Определение 3. Пусть теперь Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru — неотрицательная функция, то есть Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru . Рассмотрим все простые функции Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru , такие что Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru . Обозначим это семейство Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru . Для каждой функции из этого семейства уже определён интеграл Лебега. Тогда интеграл от Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru задаётся формулой:

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru

Наконец, если функция Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru произвольного знака, то её можно представить в виде разности двух неотрицательных функций. Действительно, легко видеть, что:

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru

где

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru .

Определение 4. Пусть Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru — произвольная измеримая функция. Тогда ее интеграл задаётся формулой:

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru .

Определение 5. Пусть наконец Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru произвольное измеримое множество. Тогда по определению

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru ,

где Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru — индикатор-функция множества Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru .

Пример

Рассмотрим функцию Дирихле Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru , заданную на Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru , где Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru — борелевская σ-алгебра на Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru , а Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru — мера Лебега. Эта функция принимает значение Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru в рациональных точках и Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru в иррациональных. Легко увидеть, что Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru не интегрируема в смысле Римана. Однако, она является простой функцией на пространстве с конечной мерой, ибо принимает только два значения, а потому её интеграл Лебега определён и равняется:

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru

Действительно, мера отрезка Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru равна 1, и так как множество рациональных чисел счётно, то его мера равна 0, а значит мера иррациональных чисел равна Обзор результатов о сходимости ряда Фурье - student2.ru .

Наши рекомендации