Установившаяся фильтрация сжимаемой жидкости и газа.

Функция Лейбензона.

При установившейся изотермической фильтрации сжимаемой жидкости и газа закон Дарси и вытекающие из него формулы, выведенные в предыдущем параграфе, не выполняются, так как объемный расход Q в этих законах в условиях сжимаемости возрастает по мере падения давления за счет расширения жидкости или газа. Одинаковым остается массовый расход Q_m,, что вытекает из условия сплошности и неразрывности потока:

(4.1)

Л.С. Лейбензон впервые ввел потенциальную функцию:

(4.2)

Тогда закон Дарси можно переписать, введя понятие массовой скорости фильтрации :

или , (4.3)

где .

Проведя такую аналогию можно сделать вывод, что все формулы полученные для установившейся фильтрации несжимаемой жидкости по закону Дарси можно использовать и для установившейся фильтрации сжимаемой жидкости и газа при тех же граничных условиях со следующей заменой переменных:

Объемный расход Q	®	массовый расход Qm
Скорость фильтрации	®	массовая скорость фильтрации
Давление р	®	функция Лейбензона

Например, формула Дюпюи в условиях сжимаемости будет иметь вид:

(4.4)

Остается определить вид функции Лейбензона для различных сжимаемых флюидов.

1. Для сжимаемой жидкости выполняется следующее уравнение состояния, полученное из закона Гука:

(4.5)

где b_ж – коэффициент сжимаемости жидкости.

При (например, для воды b_ж » 4,5×10^-101/Па) экспоненту можно разложить в ряд и ограничиться первыми двумя членами разложения можно приближенно записать:

(4.6)

Тогда точное значение функции Лейбензона для сжимаемой жидкости равно:

, (4.7)

а приближенное:

(4.8)

т.е. можно считать жидкость несжимаемой.

2. Для идеального газауравнение состояния Менделеева - Клайперона при изотермическом течении можно записать так:

Þ (4.9)

где r_ат- плотность газа при атмосферном давлении и пластовой температуре.

Функция Лейбензона для идеального газа имеет вид:

(4.10)

А) Для плоско-параллельной фильтрации идеального газа массовый дебит на галерее скважин:

(4.11)

Приведенным расходом Q_ат назовем объемный расход, приведенный к атмосферному давлению и пластовой температуре:

(4.12)

Тогда из 4.11 получим:

(4.13)

Используя (3.3) получим распределение давления при фильтрации идеального газа, рис.5:

(4.14)

В) При плоскорадиальной фильтрации формула для приведенного дебита газовой скважины (аналог формулы Дюпюи (3.5)) будет иметь вид:

(4.15)

Индикаторную линию для газов строят в координатах и .

Используя (3.7) получим распределение давления в круговом пласте для идеального газа:

(4.16)

В случае плоскорадиальной фильтрации идеального газа по двучленному закону фильтрации приведенный дебит скважины можно определить из формулы:

(4.17)

При этом индикаторные линии газовых скважин, в призабойной зоне которых заведомо нарушается закон Дарси, строят в координатах , и тогда формула для обработки таких линий принимает следующий вид:

(4.18)

где: , .

Задачи к разделу 4

Задача 4.1

Вывести зависимость дебита идеального газа совершенной скважины от депрессии на круговой пласт с радиусом R_к, если радиус скважины r_с, вязкость μ, давление на контуре и забое p_к, p_с, мощность пласта h, а фильтрация происходит по закону Форшгеймера.

Задача 4.2

В пласте имеется установившаяся плоскорадиальная фильтрация идеального газа по закону Дарси. Давление на контуре питания p_к = 9,8 МПа, на забое p_с = 6,86 МПа, приведённый к атмосферному давлению объёмный расход газа Q_ат = 8∙10⁵ м³/сут. Радиус контура питания R_к=750 м, скважины r_с = 0,1 м, мощность пласта h = 10 м, пористость m = 20%. Определить давление, скорость фильтрации и истинную среднюю скорость движения газа на расстоянии r =50 м от скважины.

Задача 4.3

Определить скорость фильтрации и среднюю скорость движения при плоскорадиальной фильтрации идеального газа к совершенной скважине у ее стенки r_с = 0,1м и на расстоянии r =150 м от центра скважины, если давление в этой точке равно р = 7,84МПа, мощность пласта h =12 м, его пористость m = 20%, а приведенный к атмосферному давлению и пластовой температуре дебит Q_ат=2×10⁶ м³/сут.

Задача 4.4

Определить радиус призабойной зоны r_кр, в которой нарушается закон Дарси, при плоскорадиальной фильтрации идеального газа, если известно, что приведенный к атмосферному давлению при пластовой температуре Q_ат=2·10⁶ м³/сут, мощность пласта h = 10 м, коэффициент пористости пласта m = 19 %, коэффициент проницаемости k = 0,6 Д, динамический коэффициент вязкости газа в пластовых условиях μ=1,4×10^-5кг/м×с, плотность газа при атмосферном давлении и пластовой температуре r_ат=0,7кг/м³.

Указание: Использовать формулу Миллионщикова и взять Re_кр=0,022

Задача 4.5

Дебит газовой скважины, приведенный к атмосферному давлению при пластовой температуре Q_ат=2·10⁶ м³/сут, абсолютное давление на забое р_с=7,84 МПа, мощность пласта h = 10 м, коэффициент пористости пласта m = 18 %, коэффициент проницаемости k = 1,2 Д, средняя молекулярная масса газа 18 г/моль, динамический коэффициент вязкости газа в пластовых условиях μ = 0,015 мПа·с, температура пласта T= 45°С.

Определить, имеет ли место фильтрация по закону Дарси в призабойной зоне совершенной скважины радиусом r_с = 0,1 м (по Щелкачёву и Миллионщикову).

Задача 4.6

Совершенная скважина расположена в центре кругового пласта радиуса R_к = 10 км, мощность пласта h = 15 м, коэффициент проницаемости k = 400 мД, вязкость жидкости μ = 1,02 мПа∙с, коэффициент сжимаемости β_ж = 4,64∙10^-10 Па^-1. Давление на контуре p_к = 11,76 МПа, забойное р_с=7,35 МПа, радиус скважины r_с = 0,1 м. Фильтрация подчиняется закону Дарси.

Определить различие в объёмном суточном дебите скважины, подсчитанным с учётом и без учёта сжимаемости жидкости. Сделать вывод по полученным результатам.

Указание: Зависимость плотности жидкости от пластового давления считать по формуле (4.5).

Задача 4.7

Определить расстояние r от возмущающей газовой скважины до точки пласта, в которой давление равно среднеарифметическому от забойного p_с=70атм и контурного p_к=100 атм. Радиус контура питания R_к = 1000 м, радиус скважины r_с = 10 см.

Задача 4.8

Определить объёмный, приведённый к атмосферному давлению и массовый дебиты совершенной скважины, считая, что фильтрация происходит по закону Дарси, если мощность пласта h = 25 м, проницаемость k = 250 мД, вязкость газа m = 0,014 мПа∙с, плотность газа при нормальных условиях r_ат = 0,650 кг/м³, радиус скважины r_с = 0,1 м, расстояние до контура питания R_к = 900 м, абсолютное давление на забое скважины p_с = 2,94 МПа и на контуре питания p_к = 3,92 МПа. Газ считать идеальным.

Задача 4.9

Найти коэффициенты А и В уравнения (4.18) индикаторной кривой, а также коэффициент гидропроводности по данным испытания газовой скважины радиусом r_с = 0,1 м, работающей в круговом пласте радиусом R_к = 1000 м.

pк, кгс/см2	pс, атм	Qат, тыс.м3/сут.
95,3	94,5	85,52
95,3		210,75
95,3	89,5	251,21

Задача 4.10

Построить распределение давления при стационарной фильтрации упругой жидкости (плотность при атмосферном давлении и пластовой температуре r =850кг/м³) между двумя рядами скважин с давлением р_к=51атм в нагнетательном ряду и массовым расходом Q_m= 50т/сут на добывающем ряду. Расстояние между рядами L = 5000м. Значения параметров пласта и жидкости следующие: k =1Д, h =10 м, b_ж=10^-101/Па, В =1000м.

Определить давление на забоях скважин в добывающем ряду.

Сравнить результаты с фильтрацией несжимаемой жидкости при тех же условиях и сделать вывод.

Указание: Зависимость плотности жидкости от пластового давления считать по формуле (4.5).