Лучайная величина. Функция распределения случайной величины и её свойства.

Скалярная случайная величина принимает значения из некоторого множества, до опыта заранее не известные.

Примеры случайных величин: количество студентов на занятии, уровень воды в реке, сила электрического тока в сети в конкретный момент времени, количество частиц в пригоршне песка и т.п.

В зависимости от множества принимаемых значений случайные величины подразделяются на непрерывные (НСВ) и дискретные (ДСВ).

У дискретной случайной величины множество значений конечно, либо счётно. Если множество значений несчётно, то случайная величина является непрерывной. Также различают смешанные случайные величины.

Случайные величины обозначаются: .

– случайные события, у которых можно считать вероятность.

Малыми латинскими буквами обозначаются конкретные значения случайной величины.

Закон распределения случайной величины: . – измеримая функция, действующая из в подмножество пространства . – множество значений случайной величины .

Измеримость функции позволяет любому бореевскому множеству

поставить в соответствие одно конкретное множество из . Таким образом , поэтому вероятность события есть вероятность события : . Закон распределения – связь между подмножеством значений случайной величины и вероятностью её попадания в это подмножество.

Случайная величина считается заданной, если задан её закон распределения и множество значений.

Вид функции полностью задаёт закон распределения.

Как правило в практических задачах явный вид функции неизвестен. Его либо невозможно, либо крайне трудно найти.

Если , то имеем вероятность – функция распределения. полностью задаёт закон распределения.

Свойства функции распределения:

1. ;

2. ;

3.

Доказательство:

, ч.т.д.

4. ;

5.

Доказательство:

, ч.т.д.

искретная случайная величина. Формы задания закона распределения дискретной случайной величины.

Случайную величину называют дискретной, если множество её возможных значений конечно или счётно.

Формы задания закона распределения ДСВ:

1. Ряд распределения.

Свойства ряда распределения:

1. ;

2. – свойство нормировки;

3. ;

4.

Доказательство:

, ч.т.д.

2. Функция распределения. Функция распределения ДСВ является кусочно постоянной функцией, принимающей на промежутке значение 0, на промежутках – значение и на промежутке – значение 1.

3. Аналитическое и графическое задание закона распределения ДСВ. Для задания закона распределения ДСВ, наряду с рядом распределения и функцией распределения, используют другие способы. Например, распределение игральной кости описывают формулой . Графическое изображение этого распределения приведено на рисунке.