Симметриялы теңдеулер ұғымын пайдаланып теңдеулерді шешу әдістемесі

Мектептегі симметриялық теңдеулер ұғымын енгізу

Рационал теңдеулер , теңсіздікті және жүйелері

(1) теңдеуін шешу деген сөз (2) сандық теңдеуі сәйкес келетін барлық а сандарын табу , немесе мұндай сандардың жоқтығын дәлелдеу болып табылады .

а саны (1) теңдеудің түбірі немесе шешуі болып табылады. Осылайша , (1) теңдеуді шешу – оның барлық көптеген шешімдерін (түбірін) табу деген сөз.

және – теңдеулері оның көптеген шешімдері сәйкес келсе пара – пар теңдеулер деп аталады.Бұл кезде деп жазылады.

Егер екі теңдеудің шешімдері , түбірлері болмаса , онда олар да пара – пар теңдеулер деп аталады.

(3) теңсіздігін шешу деген сөз cандық теңсіздігі сәйкес келетін барлық а сандарын табу немесе мұндай сандардың жоқтығын дәлелдеу болып табылады.

а саны (3) теңсіздігінің шешімі болып табылады.Демек , (3) теңсіздікті шешу – оның көптеген шешімдерін табу деген сөз. Шешімдері беттесетін екі теңсіздік пара – пар (эквиваленттік ) теңсіздіктер деп аталады.Мұнда деп жазылады.

Айнымалысы бар теңсіздіктерді шешу – оның барлық шешімдерін табу немесе шешімдер жоқ екенін дәлелдеу болады.Екі теңдеуді жүйелері былайша жазылады:

Егер теңдеудің( теңсіздіктің , жүйенің) көптеген шешімдері сәйкес келсе , онда теңдеулер (теңсіздіктер , жүйелер) кейбір жүйелерге пара – пар келеді.Мысалы,

=3-2x

жағдайында теңдеу жүйеге пара – пар екенін көрсетеді .

Бір айнымалылы бірнеше теңдеу , әрбіреуі берілген теңдеулердің кемінде біреуінің түбірі болатындай айнымалының мәндерін табу керек болғанда теңдеулердің жиынтығы деп аталады.

теңдеулерінің жиынтығы былайша жазылады:

Әдетте , жиынтық теңдеулерін бірінің астына бірін жазып , олардың алдына тік жақша қояды.

Егер теңдеудің ( теңсіздіктің , жүйенің ) көптеген шешімдері жиынтық теңдеулерінің шешімдеріне тура келсе , онда осы теңдеу ( теңсіздік , жүйе ) жиынтық теңдеуіне пара – пар келеді.Мысалы,

теңдеуі

теңдеулер жиынтығына пара – пар келеді.

Сызықтық және квадраттық теңдеулер

Сызықтық теңдеулер.

ac+b=0 (1) теңдеуіндегі a болғанда a және b сандары сызықтық теңдеулердеп аталады. Бұл теңдеудің бір ғана түбірі бар 1-мысал. теңдеуін шешу керек.

Шешуі:

2-мысал. теңдеуін шешу керек.

Шешуі: болған жағдайда бұл теңдеу сызықтық теңдеу болады және оның бір ғана шешуі бар

Квадраттық теңдеулер.

a,b,c нақты сандар болғанда

түріндегі теңдеу квадраттық теңдеу деп аталады.

өрнегі (2) квадраттық теңдеудің дискриминантты деп аталады.Егер болса , онда (2) квадраттық теңдеудің нақты түбірлері жоқ; егер болса , онда – екі нақты түбірі бар болады:

онда

Егер D=0 болса , онда (2) теңдеудің екі сәйкес келетін түбірі болады:

3-мысал. теңдеуін шешу керек.

Шешуі: болғандықтан квадраттық теңдеудің екі түбірі бар:

4-мысал. теңдеуін шешу керек .

Шешуі: болғандықтан , квадраттық теңдеудің екі сәйкес келетін 2 түбірі бар: