Тема: Похідні вищих порядків. Диференціал функції.
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
Методичні вказівки
для виконання практичних робіт
з дисципліни “Вища математика”
для студентів за спеціальностями
6.092602 “Гідромеліорація“ та
6.092102 “Промислове та цивільне будівництво“
Херсон – 2012
УДК 512(07); 514(07); 517(07)
Степаненко Н.В., Григоренко В.В. Методичні рекомендації щодо вивчення навчального модуля з дисципліни «Вища математика» із застосуванням кредитно-модульної системи організації навчального процесу – Херсон, ХДАУ, РВЦ «Колос», 2012 р.
Методичні вказівки до проведення практичних занять з дисципліни
Вища математика
Затверджено на кафедрі вищої математики Херсонського державного аграрного університету. Протокол № 1 від 26.01.2012 р.
Рекомендовано до друку методичною комісією Економічного факультету Херсонського державного аграрного університету.
Протокол №_1 від 24.01.2012 р.
Рецензент: доктор технічних наук, професор Марасанов В.В.
Методичні рекомендаціїпризначені для підготовки, оформлення та викладання дисципліни «Вища математика» за кредитно-модульною системою в навчальному процесі.
© Григоренко В.В., 2012
©
| |
Заняття 1.
Тема: Похідна функції. Основні поняття.
Означення. Похідною функції у = f(х) називають границю відношення приросту функції до приросту аргументу, якщо приріст аргументу прямує до нуля:
у′ = 
.
Знаходження похідної називають диференціюванням функції. 
Похідну функції позначають y′ або , або f′(x).
Властивості (правила знаходження) похідної:
1) (Cu)′ = Cu′ ;
2) (u+v-w)′ = u′+v′-w′ ;
3) (uv)′ = u′v+uv′ ;
4) 
Таблиця похідних основних елементарних функцій :
1) (С)′ = 0 , (С = const);
2) (х)′ = 1;
3) 
4) 
;
5) 
;
6) 
;
7) (ex)′ = ex ;
8) 
;
9) 
;
10) (sin x )′ = cos x ;
11) (cos x )′ = - sin x ;
12) (tg x)′ = 
;
13) (ctg x)′ = - 
;
14) (arctg x)′ = 
;
15) (arcctg x)′ = - ;
16) (arcsin x)′ = 
;
17) (arccos x)′ = - .
Приклади:
Знайти похідні функцій:
1. 
2. 
3. 
Завдання для роботи в аудиторії:
Знайти похідні функцій:
1) y = 2х3 _ 5х2 + 7х - 12;
2) y = х - 
х2 + 
х3 - 
х4;
3) y = 
2 
- 
+ 8;
4) y = 6 
+ 5 
- 7 
;
5) y = tgx – ctgx ;
6) y = 
+ 
- 
;
7) y = 
(х2 – 2х + 6) ;
8) y = (8х5 – 3х + х4) 
;
9) y = 
;
10) y = 
;
11) y = 
( 
- 
;
12) у = 
;
13) у = 
;
14) у = x2 
;
15) у = х arctg х .
16) у = 
arctg x ;
17) у = 
;
18) у = 
;
19) у = 
;
20) у = х3 ( 
- 4) .
Домашнє завдання:
Знайти похідні функцій:
1) у = х4 – 4х6 + 9х5 + 2х7 – 2х – 42 ;
2) у = 
- 
+ 
;
3) у = 15 - 3 
+ 
+ 
;
4) у = 
- 
- 
+ 0,75 ;
5) у = 
;
6) у = (х2 – 3х + 3)(х2 +2х – 1) ;
7) у = 
;
8) у = 
;
9) у = 
;
10) у=(2х3+3)arccosx.
Заняття 2
Тема: Похідна складної функції.
Якщо у = f(u) і u = 
(х) – диференційовані функції своїх аргументів, то похідна функції від функції (або складної функції) у = f( (x)) існує і дорівнює добутку похідної даної функції у по аргументу (х) і похідної (х) по х: у′=f′( (х)) ′(х).
Таблиця похідних складних функцій:
1) (un)′ = nun-1 u;
2) ( 
′ = - 
;
3) ( 
)′ = 
;
4) ( 
)′ = 
;
5) ( 
)′ = 
;
6) 
)′ = 
;
7) 
)′ = 
;
8) 
)′ = - 
u′ ;
9) (tg u)′ = 
10) 
ctg u)′ = - 
;
11) (arcsin u)′ = 
;
12) (arccos u)′ = - ;
13) (arctg u)′ = 
;
14) (arcctg u)′ = - .
Приклад:
Знайти похідну функції у = 
;
у′=- 
=- 
- 
(10х – 3) = - 
.
Завдання для роботи в аудиторії:
Знайти похідні функцій:
1) у = 
;
2) у = 
;
3) у = 
;
4) у = 
;
5) у = ( 
)2;
6) у = (2х3 + 3х2 + 6х +1)4 ;
7) у = 
;
8) у = (7 + )3 ;
9) у = 
) ;
10) у = 
;
11) у = ( 
+ ( 
)2)3 ;
12) у = 
;
13) у = 
;
14) у = 
;
15) у = ( 
)5 ;
16) y = ( 
– 
)4;
17) y = 
;
18) y = ( 
+ 
))6 ;
19) y = 
- 
;
20) y= 
Домашнє завдання:
Знайти похідні функцій:
1) у = (2 – 3х)5 ;
2) у = ( 
)2 ;
3) у = 
;
4) у = 
;
5) у = 
;
6) у = 
,
7) у = ( 
- 
)5 ;
8) у = 
;
9) у = х 
+ 
+ 
;
10) у = 
.
Заняття 3
Тема: Похідні неявних функцій і функцій,заданих параметрично. Похідна функції у = 
.
Функція у(х) називається неявною, якщо залежність між х і у виражена рівнянням F(х;у)= 0, яке не розв’язане відносно у.
Щоб знайти похідну від неявної функції, треба дане рівняння продиференціювати, вважаючи у функцією від х, і одержане рівняння розв’язати відносно похідної у ′. Похідна неявної функції виражається через незалежну змінну х і саму функцію у.
Приклад:
Знайти похідну функції
Якщо функція задана параметрично: 
, де х(t) і у(t) – диференційовані функції, то її похідна: 
Приклад:
Знайти похідну функції 
х ′(t) = 
, у′(t) = 3 - 3 t2 = 3(1 – t2) ;
у′(х) = 
= 3(1 – t2) 
.
Похідна степенево-показникової функції у = 
, де u і v – диференційовані функції від х, знаходиться за формулою:
у′ = v 
u′ + 
Приклад:
Знайти похідну функції у = 
.
у′ = 
(- 
) + 
= 
)+ + 
) = ( – tg х).
Завдання для роботи в аудиторії:
Знайти похідні функцій:
1) х2 + 5ху + у2 – 7 = 0;
2) у2 + ху + 
= 0;
3) 
+ ху – 5 = 0;
4) х4 + у4 = х2у2;
5) у3 + 
= 0;
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) у = 
;
12) у = 
;
13) у = 
;
14) у = 
;
15) у = 
.
Домашнє завдання:
Знайти похідні функцій:
1) х3у3 – 2ху +3 = 0;
2) 
– arctgу = 0;
3) 2 + tgх - 
= 0;
4) х = ctg t, у = 
;
5) 
6) у = 
;
7) у = 
;
8) у = 
;
9) у = 
Заняття 4
Тема: Похідні вищих порядків. Диференціал функції.
Похідною другого порядку або другою похідною функції у = f(х) називається похідна від її похідної: у′′ = (f′(х))′ . Позначається: у′′ або f′′(х) або 
.
За аналогією визначаються і позначаються похідні третього, четвертого і вищих порядків: у′′′, 
,…, 
Для функції, заданої параметрично, похідна другого порядку знаходиться за формулою: у′′(х) = 
.
Приклади:
1) Знайти похідну третього порядку функції: у = х2 
.
у′ = (х2 
= 2х 
+ х2 
= 2х + х ;
у′′ = (2х 
+х)′ = 2 + 2х 
+1 = 2 + 2 +1 = 2 +3;
у′′′ = (2 +3)′ = 2 
= 
.
2) Знайти похідну другого порядку функції: х = 2 t - 
, у=8 
.
х′(t) = 2 - 2 
= 2(1 - ) = 2 2 
= 4 ;
х′′(t) = 4 2 
= 8 ;
у′(t) = 24 
у′′(t) = 24(2 
- 
) = 24 
- 
=
= 24 
( 
- 1 + 
) = 24 (3 
;
у′′(х) = 
=
= 
= 
= - 
= - 
.
3) Знайти 
, якщо 
Знаходимо послідовно першу, другу і третю похідні:
Диференціалом функції у= f(х) називається добуток її похідної на приріст незалежної змінної: dу = у′ 
або dу = у′dх, так як 
= dх. Із цієї формули отримуємо, що у′ = f′(х) = 
.
Приклади:
1. Знайти диференціал функції: у = 
.
у′ = 
3 = 3 
;
dу = 3 dх .
2. Обчислити диференціали першого, другого та третього порядків функції 
3. Обчислити наближене значення площі круга, радіус якого рівний 3,02 м.
Скористаємося формулою 
Покладаючи 
маємо 
І тому наближене значення площі круга складає 
Завдання для роботи в аудиторії:
І. Знайти другу похідну функцій:
1) у = 4х2 – 2х + 3;
2) у = 
;
3) у = (1 + х2) 
х;
4) 
;
5) х = 
, у = 
;
6) 
ІІ. Знайти похідні вказаних порядків:
1) у = х5 + 6х2 – 5х + 8, у(5) - ?
2) у = 
, у′′′ - ?
3) y = x2 
, y(4) - ?
4) y = 
, y′′ - ?
5) y = 
, y(5) - ?
ІІІ. Знайти диференціали функцій:
1) у = arcctg4х;
2) у = 
;
3) у = 
;
4) у = 
;
5) у = 
.
Домашнє завдання:
І. Знайти похідні вказаних порядків:
1) у = х5 – 4х4 + 2х3 – 3х2 + 7х – 9, у(4) - ?
2) у = 
, у′′ - ?
3) у = (3х + 10)6, у′′′ - ?
4) у = х 
, у′′ - ?
5) х = t3 + 1, у = t2 + t + 1, у′′(х) – ?
6) х = 
, у = t - arcctg t, у′′(х) – ?
ІІ. Знайти диференціали функцій:
1) у = (х2 + 4х + 1)(х2 - 
);
2) у = 
;
3) у = 
;
4) у = 3х2 - 4 
+ 
.
Заняття 5