Эквивалентные бесконечно малые величины

Величины и при называются эквивалентными бесконечно малыми величинами, если . Обозначение эквивалентности: .

Примеры эквивалентных бесконечно малых величин:

sin ,

arcsin ,

tg ,

arctg ,

,

ln(1 + ) ,

(1 + )^a – 1 .

Эквивалентные бесконечно малые величины применяются для вычисления пределов. Бесконечно малая величина при вычислении предела в точке х₀ может быть заменена на эквивалентную ей бесконечно малую величину.

Пример. .

Вопросы для самопроверки

1. Что такое числовая последовательность?

2. Дайте определение предела функции. Может ли функция в точке иметь два предела?

3. Какая функция называется элементарной? Каким замечательным свойством она обладает?

4. Какие вы знаете свойства пределов?

5. Дайте определения бесконечно малой и бесконечно большой функций. Какая между ними существует связь?

6. Сформулируйте первый и второй замечательные пределы.

7. Как вычислить предел вида ? Какие могут встретиться ситуации при его вычислении?

8. Какие две величины называются эквивалентными бесконечно малыми?

9. Перечислите основные эквивалентные бесконечно малые величины.

10. Каким образом применяются эквивалентные бесконечно малые величины при вычислении пределов? Приведите примеры.

Типовая задача 5

Вычислить пределы следующих функций:

1) при а) х₀ = 2; б) х₀ = 3; в) х₀ = ;

2) ;

3) ;

4) .

Решение. 1а) Функция является элементарной и определенной в точке х₀ = 2. По теореме о пределе для элементарной функции,

= = .

1б) Если применить теоремы о пределах сразу, то получим неопределенность типа , поэтому преобразуем числитель и знаменатель функции:

= = = = = .

1в) Применив теоремы о пределах сразу, получим неопределенность типа . Поэтому для предварительного преобразования выражения функции разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной, т. е. на х²:

= = =

= = = 1.

2) Если будем применять теоремы о пределах сразу, то получим неопределенность типа . Для преобразования функции умножим числитель и знаменатель дроби на выражение , сопряженное числителю:

= = =
= = =
= = = .

3) Применив очевидные преобразования и первый замечательный предел, получим:

= = = = 2 · 1 = 2.

4) При применении теорем о пределах сразу, получаем неопределенность типа [ ]. Применяя второй замечательный предел, получим:

= [ ] = =
= = е⁴.

Ответ: 1а) ; 1б) ; 1в) 1; 2) ; 3) 2; 4) е⁴.

4. Задания 6 и 7
по теме «Производная и ее применение
для исследования функций»

Краткие теоретические сведения

Понятие производной

Производной функции y = f(x) в точке х₀ называется предел =
= отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Производная функции y = f(x) обозначается через , f'(x), .

Процесс нахождения производной функции называется ее дифференцированием.

Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке х₀, если она в этой точке имеет конечную производную.

Теорема. Если функция y = f(x) дифференцируема в точке х₀, то она непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Геометрический смысл производной функции y = f(x) в точ-
ке х₀ состоит в том, что производная в точке х₀ f'(x₀) равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции y = f(x) в точке
с абсциссой х₀ (рис. 11).

Рис. 11

В экономике существует несколько интерпретаций производной. Среди них можно упомянуть следующие:

1. Предельный доход определяется как производная от суммарного дохода R по количеству товара Q.

2. Предельные издержки определяются как производная издержек производства R по количеству товара Q.

Таким же образом определяются предельная выручка, предельный продукт и другие предельные величины, характеризующие не состояния, а процесс изменения какого-либо экономического показателя.

Правила вычисления производных:

1. Производная постоянной функции равна нулю, т. е. c' = 0.

2. Производная независимого аргумента х равна 1, т. е. х' = 1.

3. Производная алгебраической суммы дифференцируемых функций равна соответствующей алгебраической сумме производных функций-слагаемых, т. е. .

4. Производная произведения двух дифференцируемых функций u
и v вычисляется по формуле .

Следствие. Постоянный множитель можно вынести за знак производной, т. е. (с · u)' = с · u'.

5. Производная частного дифференцируемых функций u и v вычисляется по формуле .