Функцияның дөңестігі және майысу нүктесі.

1-Анықтама. Дифференциалданатын y=f(x) функциясының графигі интервалында сол аралықтағы өзінің кез келген жанамасынан төмен жатса, онда ол сол аралықта дөңес деп аталады.

2-Анықтама. Дифференциалданатын y=f(x) функциясының графигі интервалында сол аралықтағы өзінің кез келген жанамасынан жоғары жатса, онда ол сол аралықта ойыс деп аталады.

Теорема. (Дөңес және ойыстықтың жеткілікті белгісі).

Айталық y=f(x) функциясының интервалының барлық нүктесінде екінші ретті туындысы бар болсын. Егер осы интервалдың барлық нүктесінде болса, онда функцияның графигі осы интервалда дөңес болады, ал болса, ойыс болады.

Анықтама. Үздіксіз функцияның графигінің дөңес бөлігін ойыс бөлігін айыратын нүктені майысу нүктесі деп атайды.

Теорема. (Майысу нүктесінің бар болуының жеткілікті шарты).

Егер үздіксіз функцияның екінші ретті туындысы нүктесі арқылы өткенде өзінің таңбасын өзгертетін болса, онда абсциссасы нүктесі функцияның графигінің майысу нүктесі болады.

Теорема. (Майысу нүктесінің бар болуының қажетті шарты).

Айталық y=f(x) функциясының интервалында екінші ретті туындысы бар болсын.Сонда, егер абсциссасы нүктесі берілген функцияның графигінің майысу нүктесі болса, онда болады.

Функцияның графигінің асимптоталары.

Анықтама. Егер y=f(x) функциясының графигінің бойындағы нүкте шектеусіз алыстағанда, ол нүкте мен қандай да белгілі бір түзудің ара қашықтығы нөлге ұмтылса, онда бұл қисықтың асимптотасы деп аталады.

Оу осіне параллель асимптота.

сол жағынан ұмтылғанда y=f(x) функциясы абсолюттік шамасы бойынша шексіз өссе, яғни болса онда анықтамадан түзуі асимптота екендігі шығады. Сол сияқты болса түзуі асимптота болады.

Оу осіне параллель емес асимптота.

y=f(x) функциясының оу осіне параллель емес асимптотасы бар болсын. Ондай асимптотаның теңдеуі y=kx+b болады. к және в ні төмендегіше табамыз.

Функцияны зерттеудің жалпы схемасы және оның графигін салу.

Біз осыған дейін туынды көмегімен функцияның әртүрлі қасиеттерін зерттеудің бірнеше тәсілдерін бердік. Енді соларды функцияның графигін салу үшін пайдалануға кейбір нұсқаулар келтірейік. Сонымен, функцияның графигін салу үшін келесі зерттеулерді жүргізген жөн.

1. Функцияның анықталу облысын, үздіксіздік интервалын және үзіліс нүктелерін табу.

2. Функцияның графигінің асимптоталарын табу.

3. Графиктің координат остерімен қиылысу нүктесін және функцияның таңбасының тұрақтылық интервалдарын табу.

4. Функцияның монотондылық интервалын және оның экстемумын (максимум және минимумын) табу.

5. Функцияның графигінің дөңес және ойыс интервалдарын және майысу нүктесін табу.

6. Функцияның графигін салу.