Определение производной

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ

ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Конспект лекций

1 Производная функции, ее геометрический и механический смысл

1.1 Примеры, приводящие к понятию производной при неравномерном движении

дает среднюю скорость.

Пусть в некоторый момент времени точка занимает положение , а через – (рис. 1).

Рисунок 1 –

, , .

Мгновенная скорость, получится как

1.2 Процесс наполнения сосуда , зависимость наполненного сосуда от времени

,

.

Определение производной

Пусть . Аргумент получил приращение , следовательно, и функция получила приращение , то есть

.

,

тогда

,

.

Заметим, что для любой переменной производная имеет определенное значение, то есть производная является функцией от . Обозначение:

, , ;

при или .

Операция нахождения производной называется дифференцированием этой функции.

Пример. Вычислить производную функции .

Решение. Пусть переменная получила приращение , то есть . Найдем приращение функции как , следовательно

,

;

.

Рассмотрим график функции (рис. 2).

Рисунок 2 –

Угловой коэффициент секущей :

.

Если , то секущая , поворачиваясь вокруг точки , в пределе переходит в касательную , так как касательная является предельным положением секущей, когда точки пересечения сливаются.

,

.

Геометрический смысл производной состоит в том, что она равна угловому коэффициенту касательной:

– уравнение касательной.

Подобным образом находится уравнение нормали к кривой, то есть перпендикуляр к касательной в точке касания имеет вид

.

Геометрический смысл производной дает возможность, если дан график, проследить за наклоном касательной к нему и сразу построить ориентировочный график производной.

Отметим, что если при некотором значении обращается в (при ), то в соответствующей точке угловой коэффициент графика касательной равен , то есть касательная параллельна оси ; если производная претерпевает скачок, то и касательная поворачивается скачком, то есть график имеет излом, если функция уходит в , то и производная уходит в .