Доверит. интервал для a при неизвестном параметре σ

Пусть x_1, x_2,…,x_n — выборка из N(a, σ), причем a и σ неизвестны.

Построитьдоверительный интервал для a при заданной доверительной вероятности (1- a).

,

Для решения воспользуемся теоремой: Пусть x_1, x_2,…,x_n — выборка из N(a, σ), Статистика имеет распределение Стьюдента с (n - 1) степенью свободы. (Без доказательства)

Построим, пользуясь этой теоремой, доверительный интервал для a. Для этого прежде всего заметим, что плотность вероятности распределения Стьюдента с (n - 1) степенью свободы является четной и положительной функцией x. Поэтому, если — квантиль распределения Стьюдента с (n - 1) степенью свободы порядка (то есть корень уравнения F(U) = , где F(U) — функция распределения Стьюдента с (n - 1) степенью свободы), то , следовательно,

,

.

Итак, , , и задача решена.

№23.Доверительные интервалы для дисперсии нормального распределения случайной величины (с известным и неизвестным математическим ожиданием).

Доверительный интервал для σ при известном параметре a.

Пусть x_1, x_2,…,x_n — выборка из N(a, σ), причем σ неизвестно, а a известно.

Построитьдоверительный интервал для σ при заданной доверительной вероятности (1- a).

Воспользуемся тем, что статистика имеет распределение χ² с n степенями свободы. Пусть K_n(x) — соответствующая функция распределения, , — квантили этого распределения порядков и соответственно. Тогда

,

поэтому , , и задача решена.

Доверительный интервал для σ при неизвестном параметре a.

Пусть x_1, x_2,…,x_n — выборка из N(a, σ), причем σ и a неизвестны.

Построитьдоверительный интервал для σ при заданной доверительной вероятности (1- a).

Эту задачу будем решать так же, как предыдущую, только неизвестный параметр a заменим его оценкой . Тогда статистика тоже будет иметь распределение χ², но не с n, a с (n-1) степенью свободы. Пользуясь этим и рассуждая как в предыдущем пункте, получаем , , где , — квантили распределения χ² с (n-1) степенью свободы порядков и ( ) соответственно.

Статистические гипотезы, постановка задачи построения критерия проверки статистической гипотезы. Уровень значимости и мощность критерия. Параметрический критерий. Теорема Неймана-Пирсона.

Пусть случайная величина X имеет плотность p(x, θ), зависящую от параметра θ, одномерного или многомерного, принимающего значения из некоторого множества Θ. В частности, если p(x, θ) — одномерная плотность распределения и независимая выборка x₁, x₂,…x_n(1) получена из распределения с этой плотностью, то n-мерная плотность, соответствует выборке (1) равна произведению

(С очевидными изменениями все это переносится и на дискретный случай, когда p(x, θ)= P{X=x}).

Значение параметра θ вполне определяет плотность p(x, θ). Те или иные гипотезы о виде неизвестного распределения или о параметрах известного распределения называются статистическими гипотезами. Статистическая гипотеза типа θ = θ₀, где θ₀ — некоторое фиксированное значение, называется простой; гипотеза типа θ Θ называется сложной (содержат конечное или бесконечное число простых гипотез). Проверку гипотезы проводят статистическим методом, поэтому проверку называют статистической. Гипотезу проверяют на основании выборки из ГС — это и есть статистический метод. Из-за случайности выборки в результате статистической проверки могут возникнуть ошибки и приниматься неправильные решения. Решение принимается по значению некоторой функции от выборки, называемой статистикой (это спец. статистика, которая называется статистическим критерием, который служит для отбора и проверки).

Опр: Статистический критерий К — это случайная величина, т.е. функция на множестве случайного аргумента, которая служит для проверки нулевой гипотезы.

Множество значений критерия К можно разделить на два непересекающихсяподмножества:

1) подмножество значений К, при которых H₀ принимается, называемое областью принятия гипотезы(допустимой областью).

2) подмножество значений критерия К, при которых основная гипотеза H₀ отклоняется и принимается альтернативная гипотеза H₁ , называемое критической областью.

К — одномерная случайная величина, т.е. его возможные значения некоторому интервалу. Обычно интервал — вся прямая или положительная полуось, поэтому критическая область критерия и допустимая область критерия также являются интервалами на числовой оси и, следовательно, существуют точки, которые их разделяют. Они называются критическими точками или границами критерия К.

Постановка задачи.

Относительно параметра θ имеется некоторая основная или, или проверяемая гипотеза H₀ : θ Θ. Мы должны построить такой статистический критерий, который позволяет заключить, согласуется ли выборка x₁, x₂,…x_n с гипотезой H₀ , или нет.

Обычно критерий строится с помощью критического множества. Из n – мерного множества всех возможных значений (x₁, x₂,…x_n) выделяется такое подмножество S, называемое критическим, что при (x₁, x₂,…x_n) S гипотеза отвергается, а в пртивоположном случае — принимается. Полученный с помощью критического множества S статистический критерий иногда называют S-критерием.

Мы будем рассматривать главным образом две основные гипотезы:

H₀: p(x)= p(x, θ₀) — основная гипотеза;

H₁: p(x)= p(x, θ₁) — альтернативная гипотеза.

Есть задачи, в которых H₀ и H₁ — равноправны. Однако очень часто в реальных задачах эти гипотезы выступают наравнопрвно.