Бесконечно большая функция (б.б.ф.)

Определение 2.3. Функция называется бесконечно большой (б.б.ф.) при , если для любого числа существует число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство , т.е.

.

Например, функция есть б.б.ф. при .

Если стремится к бесконечности при и принимает лишь положительные значения, то пишут ; если лишь отрицательные значения, то .

Аналогично определяются бесконечно большие функции (т.е. понятия бесконечного предела функции) при , или , или .

Бесконечно малые функции (б.м.ф.)

Определение 2.4. Функция называется бесконечно малой (б.м.ф.) при , если для любого положительного e найдется такое положительное число d, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

С помощью логических символов это определение можно записать следующим образом:

.

Например, функция есть б.м.ф. при ; функция есть б.м.ф. при ;

Аналогично определяются бесконечно малые функции (т.е. понятия бесконечного предела функции) при , или , или .

Бесконечно малые функции называют бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми; обозначают обычно греческими буквами, т.е. .

Пример 2.2. Показать, что функция

при является бесконечно малой.

Решение. Так как , то функция есть бесконечно малая при . Функция , ограничена, т.к. .

Функция представляет собой произведение ограниченной функции на бесконечно малую . Значит, - бесконечно малая при .

,

Бесконечно малые функции играют существенную роль в том, что понятие предела функции может быть сведено к понятию бесконечной малой. Имеет место следующая теорема, которую примем без доказательства

Теорема 2.1. Число A является пределом функции в точке тогда и только тогда, когда имеет место равенство

,

где - б.м.ф. при , т.е.

.

Теорема 2.2. Если функции и имеют в точке пределы A и B, т.е. и , то:

1) ;

2) ;

3) ;

4) , где ;

Неопределенности

Если и - б.м.ф. при , то выражение при называется неопределенностью типа . Если и - б.б.ф. при , то выражение при называется неопределенностью типа , а выражение - неопределенностью типа . Если - б.м.ф., а - б.б.ф. при , то называется неопределенностью типа . Аналогично вводятся неопределенности типа и т.д.

Раскрыть неопределенность – это значит найти предел соответствующего выражения (если он существует), что зависит от конкретных функция, входящих в выражения.

Рассмотрим приемы раскрытия некоторых неопределенностей.

1. Непосредственное нахождение предела

Пример 2.3. Вычислить

.

Решение.

.

,

2. Преобразования, приводимые к сокращению дробей

Пример 2.4. Вычислить

.

Решение.

[раскладываем на множители числитель и знаменатель:

] =

= .

,

3. Деление на старшую степень x при

Пример 2.5. Вычислить

.

Решение.

.

,

Пример 2.6. Вычислить

.

Решение.

.

,

4. Сокращение с предварительным уничтожением иррациональности

Пример 2.7. Вычислить

.

Решение.

.

,

Не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел. Например, функция при предела не имеет. Во многих вопросах анализа бывает достаточно только убедиться в существовании предела функции. В таких случаях пользуются признаками существования предела.

Теорема 2.3. (теорема о пределе промежуточной функции или теорема о «двух милиционерах») Если функция заключена между двумя функциями и , стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремиться к этому пределу, т.е., если

и , , то

.

Замечательные пределы

Теорема 2.4. (I замечательный предел) Предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю, т.е.

. (2.1)

Пример 2.8. Найти

.

Решение. Первый способ. Имеем неопределенность типа . Теорема о пределе дроби не применима. Обозначим , тогда при и , поэтому

.

Второй способ.

.

,

Пример 2.9. Найти

.

Решение.

.

,

Теорема 2.5. (II замечательный предел)

. (2.2)

Если в равенстве (2.2.) положить ( при ), оно напишется в виде

. (2.3)

Равенство (2.3) тоже называется II замечательным пределом.

Пример 2.10. Найти

.

Решение.

.

,

2.7.Сравнение бесконечно малых функций

Как известно, сумма, разность и произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая. Отношение же двух б.м.ф. может вести себя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно большой функцией, бесконечно малой или вообще не стремиться ни к какому пределу.

Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения.

Пусть и есть б.м.ф. при , т.е. и . Тогда:

1) Если , то функции и называются бесконечно малыми одного порядка. В этом случае пишут: при (читается: « есть O большое от при ).

2) Если , то функция называется бесконечно малой более высокого порядка, чем . В этом случае пишут: при (читается: « есть o малое от при ).

3) Если , то функция называется бесконечно малой более низкого порядка, чем .

4) Если не существует, то функции и называются несравнимыми бесконечно малыми.

Например, при сравнении двух функций и при , получаем , значит, данные функции являются бесконечно малыми одного порядка, т.е. ; при сравнении двух функций и при , получаем , значит, функция является бесконечно малой более низкого порядка, чем функция .

Пример 2.11. Можно ли сравнить функции и при .

Решение. Функции и при являются несравнимыми б.м.ф., так как предел не существует.

,

Отметим, что таковы же правила сравнения б.м.ф. при .

Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые.

Если , то функции и называются эквивалентнымибесконечно малыми при ; это обозначается так: a~b.

Теорема 2.6. Если при ~ , ~ и существует , то существует , причем

.

Для раскрытия неопределенностей типа часто бывают полезным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Как известно, ~ при , ~ при . Приведем еще примеры эквивалентных б.м.ф.

Пример 2.12. Покажем, что ~ при .

Решение.

.

,

Пример 2.13. Найти

.

Решение.

.

,

Ниже приведем важнейшие эквивалентности, которые используются при вычислении пределов:

1. ~ при ; 2. ~ при ; 3. ~ при ; 4. ~ при ; 5. ~ при ;

6. ~ при ; 7. ~ при ; 8. ~ при ; 9. ~ при ; 10. ~ при ; в частности, ~ .

Пример 2.14. Найти

.

Решение. Так как ~ при , то

.

,

2.8.Односторонние пределы

В определении предела функции считается, что стремится к любым способом: оставаясь меньшим, чем (слева от ), большим, чем (справа от ), или колеблясь около точки .

Бывают случаи, когда способ приближения аргумента к существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

Определение 2.5. Число A₁ называется пределом функции слева в точке , если для любого положительного e найдется такое число , что при , выполняется неравенство .

С помощью логических символов это определение можно записать следующим образом:

.

Или коротко: .

Аналогично определяется предел функции справа, который с помощью символов можно записать следующим образом:

.

Или коротко: .

Пределы функции слева и справа называются односторонними.

Пример 2.15. Найти односторонние приделы функции в точке .

Решение. Имеем

; . ,

Связь между односторонними пределами и пределом функции в точке устанавливается следующей теоремой, которую примем без доказательства.

Теорема 2.7. Функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существует правый и левый пределы и они равны. В этом случае их общее значение и является пределом функции в точке , т.е.

.

Следовательно, если односторонние пределы в точке существуют, но не равны, то предел функции в этой точке не существует. Так, функция в точке предела не имеет, поскольку .

3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ