Подпространства линейных пространств

Определение 22. Подпространством линейного пространства называется такое множество его элементов, которое само является линейным пространством над тем же полем.

Теорема 14. Непустое множество элементов В Ì L является линейным подпространством в L тогда и только тогда, когда для любых двух элементов в₁ и в₂ из В и любого lÎ Р выполняются условия: в₁ + в₂ Î В и l×в₁ Î В.

Доказательство. Þ Если В – линейное подпространство, то условия теоремы, очевидно, выполнены.

Ü Если условия теоремы выполняются, то возьмём любой элемент в Î В. Тогда (–1)×в = –в принадлежит В. Итак, в В для каждого элемента есть противоположный. Но тогда и в + (–в) тоже принадлежит В, т.е. 0 Î В. Остальные требования определения 14 выполняются очевидно. Следовательно, В – линейное пространство над тем же полем, что и L.

Примеры линейных подпространств.

1. Пусть а₁, а₂, … , а_к – любая система векторов из L. Множество всех линейных комбинаций этих векторов (т.е. элементов вида a₁а₁ + a₂а₂ + … + a_ка_к) называется линейной оболочкой данной системы векторов и обозначается áа₁, а₂, … , а_кñ, или L(а₁, а₂, … , а_к). Линейная оболочка любой конечной системы векторов из L является линейным подпространством в L.. Одним из базисов линейной оболочки является максимальная линейно независимая подсистема системы а₁, а₂, … , а_к. Следовательно, размерность линейной оболочки равна рангу этой системы.

2. Множество многочленов степени не выше к (к £ n) с коэффициентами из поля Р является линейным подпространством в пространстве многочленов степени не выше n.

3. Множество компланарных геометрических векторов является линейным подпространством в пространстве всех геометрических векторов трёхмерного евклидова пространства.

4. Нулевой вектор является линейным подпространством в том линейном пространстве, которому он принадлежит.

5. Множество диагональных матриц порядка n является линейным подпространством во множестве квадратных матриц порядка n.

Пусть А и В – два линейных подпространства пространства L .

Определение 23. Суммой подпространств А и В называется множество всех возможных элементов вида а + в, где а Î А, в Î В. (Обозначение А + В)

Теорема 15. Сумма линейных подпространств из L есть линейное подпространство из L.

Доказательство. Пусть а₁ + в₁и а₂ + в₂ – любыедва элемента из А + В. Тогда (а₁ + в₁) + (а₂ + в₂) = (а₁ + а₂) + (в₁ + в₂) Î А + В, так как а₁ + а₂ Î А, в₁ + в₂ Î В. Кроме того l×(а + в) = l×а + l×в Î А + В, так как l×а Î А, l×в Î В. Следовательно, по теореме 14 сумма А+ В является линейным подпространством в L.

Теорема 16.Пересечение линейных подпространств из L есть линейное подпространство из L.

Доказательство проведите самостоятельно.

Теорема 17.Размерность суммы двух линейных подпространств равна сумме размерностей слагаемых минус размерность их пересечения.

Доказательство. Пусть С = А + В, где А и В линейные подпространства пространства L. Пусть D = А Ç В. Выберем базис d = (d₁, d₂, … , d_к) в подпространстве D и дополним его векторами е = (е_1, е₂, … , е_m)и f = (f₁, f₂ … , f_s) так, чтобы система (е_1, е₂, … , е_m, d₁, d₂, … , d_к) была базисом в подпространстве А, а система (d₁, d₂, … , d_к,f₁, f₂ … , f_s ) была базисом в В. Покажем, что система (е_1, е₂, … , е_m , d₁, d₂, … , d_к , f₁, f₂ … , f_s) является базисом в подпространстве С. Если с Î С, то с = а + в. Так как а Î А, то а есть линейная комбинация векторов систем е и d. Так как в Î В, то в есть линейная комбинация векторов систем d и f . Но тогда с линейно выражается через векторы е, d и f . Остаётся показать, что система векторов (е_1, е₂, … , е_m , d₁, d₂, … , d_к , f₁, f₂ … , f_s) линейно независима. Для этого рассмотрим a₁е₁ + a₂е₂ + … + a_mе_m + b₁d₁ + b₂d₂ + ... + b_кd_к + g₁f₁ + g₂f₂ + … + g_sf_s = 0. Вектор а = a₁е₁ + a₂е₂ + … + a_mе_m + b₁d₁ + b₂d₂ + ... + b_кd_к лежит в подпространстве А. Но в то же время а = – g₁f₁ – g₂f₂ – … – g_sf_s . Следовательно, а Î В. Итак, а Î D . Если бы а не был нулевым вектором, то он не мог бы выражаться через векторы системы f . Следовательно, – g₁f₁ – g₂f₂ – … – g_sf_s = 0. Так как векторы системы f линейно независимы, то g₁= g₂= …= g_s = 0. Но тогда a₁е₁ + a₂е₂ + … + a_mе_m + b₁d₁ + b₂d₂ + ... + b_кd_к = 0. Так как система векторов (е, d ) линейно независима, то отсюда следует, что a₁ = a₂ = … = a_m = b₁ = b₂ = … = b_к = 0. Итак, система (е_1, е₂, … , е_m , d₁, d₂, … , d_к , f₁, f₂ … , f_s) является базисом в подпространстве С. Отсюда dim C = m + k + s = (m + k) + (k + s) – k = dim A + dim B – dim D .