Чистая СМО с ожиданием

Чистая СМО с ожиданием характеризуется тем, что любая за­явка, поступившая в систему, будет обязательно обслужена (Р_отк=0). Вероятности состояний для этой системы можно полу­чить из уравнений (2.25) – (2.28) в результате предельного пере­хода при т®¥.

Так как сумма в формуле (2.25) сходится только при r<1, то в рассматриваемой системе стационарный режим имеет место только при r<1; если r£1, то очередь неограниченно воз­растает. Так как при r<1, то из выражения (2.26) нахо­дим

, (2.38)

Вероятности состояний системы Р_k, рассчитываются по форму­лам (2.27) и (2.28), где Р₀ вычисляется по формуле (2.38).

Показатели эффективности чистойСМО с ожиданием:

– относительная и абсолютная пропускная способность систе­мы из формулы (3.19) при Р_отк=0

q=1; Q=l; (2.39)

– среднее число занятых каналов

; (2.40)

– вероятность того, что заявка, поступившая в систему, будет ожидать обслуживания, из формул (2.30) и (2.38)

; (2.41)

– средняя длина очереди, как следует из формулы (3.32) при т®¥,

; (2.42)

– среднее время ожидания

; (2.43)

– вероятность пребывания заявки в очереди более t единиц времени

. (2.44)

Методику вычисления рассмотренных показателей эффектив­ности СМО поясним на примере.

На пункте технического обслуживания (ПТО) оборудованы две линии по обслуживанию техники. Время обслуживания одной еди­ницы техники распределено по показательному закону с парамет­ром Число единиц техники, одновременно находящихся на ПТО, не должно превышать четырех единиц. Поток техники на обслуживание простейший поток заявок интенсивности l=0,5ед./ч. Определить показатели эффективности работы ПТО.

Решение. Анализ задачи показывает, что ПТО можно рас­сматривать как СМО с конечной очередью, параметры которой n=2, m=2, l=0,5 ед./ч, m=0:5 ед./ч, a= 1, r=0,5.

Результаты вычислений для различных значений п и т (раз­личных вариантов организации ПТО) приведены в табл. 2.1.

Расчет показателей СМО целесообразно производить в после­довательности, указанной в таблице. Если r=1 (для п=1, m=3), то Р₀ и L рассчитывают непосредственно по формулам (2.25) и (2.31).

Из полученных данных видно, что уменьшение п при постоян­ном значении п+т=4позволяет значительно (в 1,7 раза) повы­сить коэффициент загрузки линий K_з Однако эффективность об­служивания техники значительно снизилась: при п=1 каждая пя­тая машина (Р_отк=0,2) уходит с ПТО необслуженной, а при n=2 только одна из 25 машин (Р_отк=0,044) получает отказ; среднее время пребывания машины на ПТО при n=1 , а при п=2 .

Таблица 2.1

Показатели	п=2, т= 2	п=1, т= 3	п=2, т=0	п=2, т®¥
Р0	0,348	0,2	0,4	0,333
Pож	0,304	0,8	–	0,333
Ротк	0,044	0.2	0,2
q = 1–Ротк	0,956	0,8	0,8	1,0
Q (ед./ч)	0,478	0,4	0,4	0,5
Nз (ед.)	0,956	0,8	0,8	1,0
Кз (%)	47,8
L (ед.)	0,174	1,2	–	0,333
(ч)	0.348	2,4	–	0.666

Исключение очереди на ПТО (п=2,т=0) приводит к значи­тельному возрастанию вероятности отказа (с 0,044 до 0,2). Отсут­ствие ограничения на длину очереди (п=2, m®¥) несколько по­вышает загрузку линий, однако приводит к увеличению времени ожидания почти в два раза (с 0,348 до 0,666 ч). Для этого случая целесообразно определить вероятность того, что число машин, одновременно находящихся на ПТО, превышает 4:

,

то есть пятую часть времени на ПТО находится более четырех ма­шин одновременно.

Приведенный пример наглядно показывает важность сравне­ния различных вариантов организации СМО и учета при синтезе СМО экономических показателей.