Линеаризованное обтекание тупого угла

Глава 5

ПЛОСКИЕ ИЗОЭНТРОПИЧЕСКИЕ

ТЕЧЕНИЯ ГАЗА

Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru В пространстве движущегося газа по большому счету, за исключением некоторых достаточно ограниченных областей (пограничный слой, след за телом и др.), имеет место безвихревое, или потенциальное течение. Выясним, при каком условии течение можно считать потенциальным, т. е. при каком условии в потоке будут отсутствовать вихри.

Рассмотрим какую-нибудь линию тока аА (рис. 5.1). Проведем касательную к линии тока в точке а (совпадает с направлением вектора скорости Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru ) и внутреннюю нормаль n. Уравнение движения в проекции на нормаль n запишется следующим образом:

Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru , (5.1)

где r = Оа – радиус кривизны линии тока; Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru – центростремительное ускорение. Вдоль линии тока полная удельная энергия и энтропия не изменяют своей величины, т. е. Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru и dS = 0.

Допустим, что при переходе от одной линии тока аА к другой bВ, расположенной на расстоянии Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru от аА, полная удельная энергия Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru и энтропия газа Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru изменяются. То есть

Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru . (5.2)

Исключив из уравнений (5.2) Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru получим Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru . Тогда Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru и после подстановки в уравнение движения (5.1) имеем следующее:

Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru или Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru .

Выражение в скобках Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru есть не что иное, как удвоенная угловая скорость Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru . Из условия потенциальности (вращательное движение отсутствует) Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru = 0, следовательно, Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru .

Это равенство в общем случае выполняется, если Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru и Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru .

Случай выполнения этого равенства при Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru и Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru не представляет интереса, так как он соответствует движению с линиями тока в виде либо концентрических окружностей, либо параллельных прямых.

Таким образом, поток газа можно считать потенциальным, если полная удельная энергия и энтропия при переходе от одной линии тока к другой не изменяются.

Основное дифференциальное уравнение плоского

потенциального потока газа

Рассмотрим плоский потенциальный газовый поток (установившееся течение). Уравнение неразрывности для такого течения имеет вид Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru , которое для плоского потока запишется как Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru . Проведя дифференцирование в этом уравнении, получаем

Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru . (5.3)

Выразим Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru и Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru через проекции скорости Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru и Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru . Считая движение баротропным Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru , где Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru , можно записать, что

Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru и Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru .

Заменим в этих выражениях Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru и Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru через уравнения Эйлера (3.6) и (3.7) с учетом малости массовых сил, т. е. Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru , Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru

Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru ,

Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru .

Тогда имеем следующее:

Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru ,

Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru .

Полученные выражения подставим в уравнение (5.3) и приведем его к следующему виду:

Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru . (5.4)

Учтем, что для потенциального потока Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru , Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru , и уравнение (5.3) примет вид

Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru . (5.5)

Уравнение (5.5) представляет собой основное дифференциальное уравнение газовой динамики для плоского потенциального установившегося газового потока. Это нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных относительно неизвестной функции Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru . Однако коэффициенты при вторых производных в явном виде от координат х и y не зависят, поэтому уравнение (5.5) называют квазилинейным дифференциальным уравнением.

Для решения уравнения применяют два метода:

1) метод малых возмущений (метод линеаризации), который широко используется при исследовании обтекания тонких тел при малых углах атаки как в дозвуковом, так и в сверхзвуковом потоке и позволяет получить решение в аналитическом виде;

2) метод характеристик – численный метод, который применяется для определения поля скоростей в сверхзвуковом потоке.

Метод малых возмущений

Степень возмущения потока вблизи тела определяется относительной толщиной тела и его ориентацией в пространстве. Рассмотрим основные положения метода малых возмущений на примере обтекания тонкого профиля под малым углом атаки Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru . Поток около такого профиля мало отличается от плоскопараллельного невозмущенного потока, имеющего скорость Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru . Тогда представим скорость Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru около профиля как сумму векторов Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru и Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru , где Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru – скорость возмущения. На этом основании составляющие скорости Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru вблизи профиля равны (ось ОX направлена вдоль вектора Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru ):

Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru ,

где Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru и Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru – составляющие скорости возмущения Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru ( Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru , Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru ).

Утверждение о малости возмущений справедливо везде, за исключением критической точки. В ее окрестности скорость потока равна нулю, т. е. Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru и составляющая скорости возмущения Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru равна по величине Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru и противоположна ей. Предположим, что малому возмущению скорости соответствуют также малые изменения давления, плотности и температуры.

Сущность метода малых возмущений (метода линеаризации) заключается в том, что во всех формулах удерживаются только члены первого порядка малости (вторыми и более высокими степенями малых величин Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru , Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru и т. д. можно пренебречь).

Произведем линеаризацию уравнения (5.5). Рассмотрим вначале квадрат скорости:

Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru .

Оставляя только величины не ниже первого порядка малости, получаем Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru . Тогда выражение для скорости потока Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru будет иметь вид

Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru .

Так как по условию Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru , то используем известный из математики прием приближенного вычисления подобного выражения Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru (при условии Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru ). Таким образом, окончательно получаем

Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru . (5.6)

Аналогичные преобразования проведем с выражением для скорости звука:

Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru .

То есть Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru . В окончательном виде

Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru .

Сравним между собой числа Маха потока около профиля Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru и в невозмущенном потоке Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru , используя положения метода малых возмущений:

Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru .

Применив уже использовавшийся метод приближенного вычисления, ввиду малости дроби во второй скобке, получим

Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru .

Найдем давление в возмущенном потоке. Из уравнения Бернулли (3.30) Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru . Интегрируем в пределах для давления от Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru до Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru и для скорости от Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru до Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru . Тогда Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru .

Произведение Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru (удельный расход через единицу площади) для невозмущенного потока равно Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru , а для возмущенного потока равно Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru . Произведем замену Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru под интегралом на его среднее значение:

Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru ,

и после интегрирования получим

Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru .

В результате, окончательно получаем

Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru . (5.7)

Выражение (5.7) представляет собой линеаризованное уравнение Бернулли.

Для линеаризации основного дифференциального уравнения газовой динамики (5.5) заменим в нем Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru и Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru через их линеаризованные выражения. Тогда с принятой точностью

Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru .

Определим порядок величины вторых производных от потенциала скорости. Так Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru , т. е. Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru имеет первый порядок малости. То же самое можно сказать и о других производных, входящих в линеаризуемое уравнение. Отбрасывая члены второго порядка малости, после деления на Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru получаем

Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru , (5.8)

т. е. линейное дифференциальное уравнение.

Рассмотренный метод упрощения и преобразования исходного нелинейного дифференциального уравнения (5.5) называют методом линеаризации, а сам поток, описываемый уравнением (5.8), – линеаризованным потоком.

В случае трехмерного потока газа линеаризованное уравнение движения можно записать по аналогии с уравнением (5.8) в виде

Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru . (5.8а)

Уравнения (5.8) и (5.8а) справедливы как для дозвуковых ( Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru ), так и для сверхзвуковых ( Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru ) скоростей. Однако методы их решения различны и будут рассмотрены далее и для дозвуковых, и для сверхзвуковых скоростей.

Линеаризованное обтекание тупого угла

Сверхзвуковым потоком

Рассмотрим обтекание тупых углов АОВ (рис. 5.2), мало отличающихся от Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru , сверхзвуковым потоком газа в линейной постановке. Угол поворота потока будем считать положительным ( Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru ), если угол АОВ больше Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru (рис. 5.2, а), и отрицательным ( Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru ), если угол АОВ меньше Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru (рис. 5.2, б).

Проводя линию возмущения Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru из вершины угла О, получим области невозмущенного (I) и возмущенного (II) течений.

В области I скорость всюду постоянна и равна Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru , в области II скорость равна Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru также для всей области. Вектор Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru повернут на угол Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru по отношению к Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru . Считая течение газа в обеих областях потенциальным, введем потенциал скорости возмущения Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru .

Граничными условиями задачи являются следующие:

1) в области I, где Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru , Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru и Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru ;

2) в области II ( Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru ) потенциал возмущения Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru .

 
  Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru

а б

Рис. 5.2. Схемы линеаризованного обтекания тупого угла:

а – угол больше 180о; б – угол меньше 180о

Рассмотрев треугольники скоростей с учетом малости угла поворота потока ( Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru ) и обращая внимание на направления (знаки) Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru и Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru , имеем следующее:

Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru или Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru .

Пренебрегая произведением Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru как величиной второго порядка малости, получим выражение для расчета составляющей скорости Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru :

Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru .

Потенциал скорости возмущения Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru удовлетворяет уравнению (5.8), общим решением которого является функция

Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru .

В обоих вариантах рассматриваемой задачи частное решение Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru не имеет физического смысла, так как линия возмущений Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru равна нулю или наклонена навстречу набегающему потоку, или оказывается вне потока (уходит внутрь поверхности). Таким образом, общее решение имеет вид

Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru .

Запишем составляющие скорости Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru и Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru через потенциал Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru : Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru , Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru . Отсюда получаем Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru . С учетом того, что Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru и Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru , выражение для Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru примет вид Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru . Таким образом, получаем систему уравнений для определения составляющих скорости Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru и Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru :

Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru , Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru . (5.9)

Как видно из выражений (5.9), характер изменения скорости течения газа при обтекании угла АОВ зависит от знака угла поворота потока:

– при Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru : Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru , Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru – течение разрежения (рис. 5.2, а);

– при Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru : Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru , Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru – течение уплотнения (рис. 5.2, б).

Найдем изменение давления при обтекании угла АОВ. Воспользуемся линеаризованным уравнением Бернулли (5.7) в виде Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru . Отсюда, с учетом полученного решения (5.9),

Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru , (5.10)

где Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru – скоростной напор потока до начала поворота. Запишем выражение для коэффициента давления:

Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru . (5.10а)

Выражение (5.10) показывает, что при обтекании угла, большего Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru ( Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru ), давление уменьшается, а при обтекании угла, меньшего Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru ( Линеаризованное обтекание тупого угла - student2.ru ), давление увеличивается, что находится в полном соответствии с физической картиной течения.

Метод характеристик

Наши рекомендации