Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Определение
Совокупность уравнений вида
(8.7.1) |
где –независимая переменная, – искомые функции, – их производные, называется системой дифференциальных уравнений первого порядка.
Система дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных от неизвестных функций, называется нормальной системой дифференциальных уравнений и имеет следующий общий вид:
. | (8.7.2) |
Совокупность функций
(8.7.3) |
определенных в интервале , называется решением нормальной системы (8.7.2), если эти функции при подстановке в уравнение системы (8.7.2) обращают их в тождество.
Теорема (Коши)
Пусть для системы дифференциальных уравнений первого порядка (8.7.2) выполняются следующие условия:
- функции , определены и непрерывны по всем аргументам в замкнутой области ,
- частные производные непрерывны в области .
Тогда существует одна и только одна система решений уравнений (2):
, | (8.7.4) |
определенная в некоторой окрестности точки и удовлетворяющая в этой точке заданным начальным условиям:
. | (8.7.5) |
Условия (8.7.5) называются начальными условиями решения, а задача отыскания решения по заданным начальным условиям – задачей Коши.
Совокупность n функций
(8.7.6) |
зависящих от и произвольных постоянных , будем называть общим решением системы (8.7.2) в некоторой области , если при любых значениях постоянных эти функции представляют решение системы и если любое решение этой системы может быть записано в виде (8.7.6) при некоторых значениях постоянных .
Совокупность функций
(8.7.7) |
получающееся из общего решения (6) системы (8.7.2) при определенных значениях постоянных будем называть частным решением системы (8.7.2).
Если в области выполнены условия теоремы Коши, то для нахождения частного решения (8.7.7) достаточно разрешить уравнения
(8.7.8) |
относительно и подставить найденные значения постоянных в соотношения (8.7.6).
Одним из основных методов нахождения решения нормальных систем является метод исключения постоянных. С помощью этого метода данная система сводится к одному уравнению n–го порядка относительно одной неизвестной функции.
Пример
Найти общее решение системы уравнений
и выделить из него частное решение, удовлетворяющее начальным условиям , при .
Решение
Продифференцировав первое из уравнений системы по , получаем . Подставляя в это равенство выражение из второго уравнения системы и заменяя функцию ее выражением из первого, приходим к линейному однородному уравнению второго порядка относительно одной неизвестной функции: . Решив это уравнение, находим его общее решение . Дифференцируя последнее равенство, имеем . Подставляя выражения для и в первое уравнение системы и приводя подобные члены, получим .
Окончательно, общее решение системы имеет вид
, .
Решим теперь задачу Коши. Подставив в систему (*) вместо y, z и x их начальные значения 0, 1 и 0, получаем систему уравнений для определения постоянных и : 0= 1+ 0, 1=( + ) +( - ) .
Отсюда =0, =1. Следовательно, искомым частным решением являются функции , .
Если правые части нормальной системы (8.7.2) являются линейными функциями относительно неизвестных функций , то такая система называется линейной и имеет вид
(8.7.9) |
Если функции тождественно равны нулю, то линейная система называется однородной, в противном случае – неоднородной.
Системы линейных однородных диф. уравнений с постоянными коэффициентами
Рассмотрим систему трех уравнений с тремя неизвестными функциями x, e и z:
(8.7.10) |
где – вещественные числа, t – независимая переменная.
Будем искать частное решение системы (8.7.10) в следующем виде:
(8.7.11) |
где a, b, g и k некоторые числа (причем ), которые надо определить так, чтобы функции (8.7.11) были решением системы (8.7.10).
Подставляя функции (8.7.11) и их производные в уравнения системы (8.7.10) и сокращая на , получим
Перенося все члены в одну часть равенства и группируя коэффициенты при a, b, g получим систему уравнений
(8.7.12) |
Система (8.7.12) – это однородная система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными a, b и g. Как известно, чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель был равен нулю, т.е. число k было корнем уравнения
(8.7.13) |
Уравнение (8.7.13) называют характеристическим уравнением для системы (8.7.10). Оно является уравнением третьей степени относительно k и имеет три корня: . Каждому корню соответствует ненулевое решение системы (8.7.12) ( ), а следовательно, и частное решение данной системы (8.7.10):
Если корни характеристического уравнения различны и вещественны, то общее решение системы (8.7.10) запишется в виде
или | (8.7.14) |
где – произвольные постоянные.
В случае, когда среди корней характеристического уравнения имеются кратные, корню кратности r соответствует частное решение системы (8.7.10), имеющее вид
(8.7.15) |
где – многочлены степени не выше .
Пример
Найти общее решение системы .
Решение
Ищем частное решение системы в виде . Подставляя эти функции в систему, получаем
(П.1) |
Составляем характеристическое уравнение . Отсюда получаем уравнение . Корни характеристического уравнения различны и вещественны.
Найдем частное решение, соответствующее корню . Подставим его значение в систему (П.1). Полагая , находим . Решение имеет вид .
Аналогично для корня получаем . Решение имеет вид .
Третий корень дает . Решение .
Общее решение системы имеет вид
Пример
Найти общее решение системы
Решение
Ищем частное решение в виде . При этом получаем характеристическое уравнение: или . Корни этого уравнения комплексно сопряженные. Для первого корня имеем и, значит, – решение данной системы.
Аналогично для второго корня частное решение равно . Выделив из обоих частных решений вещественные части, получаем общее решение системы
Пример
Найти общее решение системы
(П.2) |
Решение
Характеристическое уравнение , или имеет корни
Найдем частное решение вида соответствующее корню . Из системы имеем . Искомым частным решением являются функции .
Теперь найдем два частных решения, соответствующих кратному корню .
Согласно (8.7.15), ему отвечает решение вида
(П.3) |
Коэффициенты определяются подстановкой (П.3) в систему (П.2). Выбрав в качестве произвольных коэффициенты , найдем . Решения (П.3) принимают вид .
Полагая сначала , а затем , находим два частных решения, соответствующих кратному корню :
И, наконец, общим решением данной системы являются функции
.
Упражнения
Проинтегрировать следующие уравнения различных типов:
1. | 2. | ||
3. | 4. | ||
5. | 6. | ||
7. | 8. | ||
9. | 10. |
Проинтегрировать следующие системы .уравнений:
11. | 12. | ||
13. | 14. |
Глава 9. Ряды
Основные понятия. Сходимость ряда
Определение: Рассмотрим числовую последовательность . Образуем из элементов этой последовательности выражение вида
, | (9.1.1) |
которое называется числовым рядом, или просто рядом. Слагаемые в формуле (9.1.1) называются членами ряда. Суммы первых n членов ряда называются частичными суммами ряда:
, , …, | (9.1.2) |
Поскольку число членов ряда бесконечно, то частичные суммы ряда образуют числовую последовательность :
. | (9.1.3) |
Ряд (9.1.1) называется сходящимся, если существует предел S последовательности частичных сумм (9.1.3); в таком случае число S называется суммой ряда:
(9.1.4) |
Если же последовательность частичных сумм (9.1.3) не имеет предела, числовой ряд (9.1.1) называется расходящимся.
Рассмотрим примеры числовых рядов.
1. Дан ряд . Последовательность частичных сумм этого ряда не имеет предела, т.е. ряд расходится.
2. Дан ряд составленный из элементов геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем : .
Частичная сумма этого ряда выражается формулой .
1. При |q|< 1 пределом является число , которое также будет и суммой данного ряда.
2. При |q|> 1 предел и ряд расходится.
3. Если же |q|= 1, то данный ряд также расходится.