Определитель третьего порядка

Порядок выполнения.

1. Ознакомиться с работой в целом. Прочитать контрольные вопросы.

2. Разработка изучается с привлечением теоретического материала из параллельного курса «Линейная алгебра и аналитическая геометрия», см. приложения, лекции и другую литературу.

3. Сначала упражнения необходимо предварительно решить в тетради. Только после этого приступить к выполнению упражнений в MATLAB.

4. При выполнении упражнений в MATLAB в случае появления сообщения об ошибке рекомендуется сначала самостоятельно выяснить, чем оно вызвано, и исправить команду; если многократные попытки устранить ошибку не привели к успеху, - проконсультироваться с преподавателем.

5. Подготовить отчёт.

6. Выберите тему для презентации.

7. Темы для презентаций:

8. 1) Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными как взаимное расположение двух прямых линий.

9. 2) Неполные уравнения прямых на плоскости и в пространстве.

10. 3) Неполные уравнения плоскостей в пространстве.

11. 4) Физический смысл векторного произведения (найти, соответствующую информацию переработать и рассказать)

Определители II и III порядков.

Определитель второго порядка

Определителем второго порядка называется число, соответствующее квадратной матрице второго порядка, равное a₁₁a₂₂ – a₂₁a₁₂. Для обозначения определителя обычно используют прямые скобки (или символ det):

A = →

Вычисление определителей II порядка

Введите

>> syms a11 a12 a21 a22

Создадим матрицу 2х2:

>> A=[a11 a12; a21 a22]

1. Мы можем вычислить определитель матрицы A, обращаясь к индексам элементов массива A:

>>detA=A(1,1)*A(2,2)-A(2,1)*A(1,2)

detA=

a11*a22-a12*a21

2. Мы можем вычислить определитель матрицы A

с помощью стандартной функции det(), тем самым сделать проверку:

>> detA=det(A)

detA =

a11*a22-a12*a21

И мы получили известную формулу для вычисления определителя.

Определитель третьего порядка

Пусть имеем квадратную матрицу третьего порядка:

A = ,

элементами a_ij , которой могут быть элементы любого числового поля.

Определителем третьего порядка называется число:

a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₁₂ a₂₃ a₃₁ + a₁₃ a₂₁ a₃₂ - a₁₃ a₂₂ a₃₁ - a₁₂ a₂₁ a₃₃ - a₁₁ a₂₃ a₃₂ ,

составленное из элементов матрицы A. Слагаемые суммы называют членами определителя 3-го порядка. Обозначения определителя 3-го порядка аналогичны введенным для определителя 2-го порядка:

Формула для вычисления определителя третьего порядка по определению:

=a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₁₂ a₂₃ a₃₁ + a₁₃ a₂₁ a₃₂ - a₁₃ a₂₂ a₃₁ - a₁₂ a₂₁ a₃₃ - a₁₁ a₂₃ a₃₂ ,

называется правилом Саррюса.

Для запоминания этого правила нередко используют геометрическую схему составления членов определителя и выбора их знаков.

1) положительные члены определителя составляют по схеме С1:

a11					a12					a13
	a22					a23		a21
		a33		a31					a32

2) отрицательные члены определителя составляют по схеме С2:

		a13			a12			a11
	a22			a21						a23
a31						a33			a32

Для рассмотрения общего случая определителей n-го порядка установим основные свойства определителей 3-го порядка (все они справедливы и для определителей 2-го порядка).

Свойство 1. Величина определителя не изменится, если строки и столбцы этого определителя поменять ролями (для матрицы это преобразование называется транспонированием матрицы):

Свойство 1 устанавливает полную равноправность строк и столбцов. Это значит, что в дальнейшем все свойства можно формулировать и для строк, и столбцов, но доказывать только для строк (или только для столбцов).

Свойство 2. Перестановка двух строк (или столбцов) определителя равносильна умножению его на число –1.

Свойство 3. Если определитель имеет две одинаковые строки (или два одинаковых столбца), то он равен нулю.

Свойство 4. Умножение всех элементов некоторой строки (или столбца) определителя на число λ равносильно умножению определителя на это число.

Это значит, что общий множитель всех элементов некоторой строки (столбца) определителя можно выносить за знак этого определителя:

Свойство 5. Если все элементы некоторой строки (или некоторого столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

Это свойство вытекает из свойства 4 при λ = 0.

Свойство 6. Если элементы двух строк (или двух столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Свойство 7. Если каждый элемент n-й строки (или n-го столбца) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей:

(17)

Это следует из выражения (13) и правила формирования каждого члена определителя: каждый член определителя содержит только один элемент (причем обязательно содержит) из каждого столбца определителя, а также из распределительного свойства операций умножения и сложения для элементов числового поля.

Свойство 8. Если к элементам некоторой строки (или столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (другого столбца), умноженные на произвольный множитель λ, то величина определителя не изменится.

Свойство 9: определитель равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (какой-либо строки) на соответствующие алгебраические дополнения элементов этого столбца (строки); определитель равен нулю, если взята сумма произведений элементов одного столбца (строки), а алгебраические дополнения составлены для элементов другого столбца (строки).

Для рассмотрения «Свойства 9» требуется предварительно определить понятия «Минор данного элемента» и «Алгебраическое дополнение данного элемента».определи-теля 3-го порядка.

Преобразуем запись (13) определителя:

Определим:

1) M_ij – минор элемента a_ij: получается из данного определителя вычеркиванием строки i и столбца j, на пересечении которых стоит элемент a_ij;

2) A_ij – равняется минору элемента a_ij, взятому со знаком (+), если сумма i+j есть число четное, и со знаком (-) – в противном случае.

Итак, определитель равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (какой-либо строки) на соответствующие алгебраические дополнения элементов этого столбца (строки):

Например, заменим 1-й столбец произвольными числами h_1, h_2,h₃:

.

1.3. Вычисление определителя третьего порядка разложением по первой строке:

(это одно из свойств определителя, но пока мы будем работать с этим свойством, не вникая в его происхождение)

Команда syms (переменные записываются через пробел) позволяет работать с символьными переменными как с числами.