Пример задания коллоквиума

Формулировки

1) Матрица, операции над матрицами, их свойства

2) Система линейных уравнений, матричная запись

3) Модель Леонтьева «затраты-выпуск», сведение задачи к системе линейных уравнений

4) Обратная матрица

5) Перестановки, инверсия, четность перестановки, транспозиции.

6) Определитель n-го порядка

7) Свойства определителя

8) Элементарные преобразования над строками и столбцами матрицы

9) Минор элемента и алгебраическое дополнение

10) Формула разложения определителя по строке или столбцу

11) Взаимная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы (формулировка)

12) Формулы Крамера

13) Линейное пространство, примеры. Подпространство линейного пространства

14) Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов

15) Линейная оболочка системы векторов. Теорема о линейной зависимости

16) Базис линейного пространства. Теорема о размерности линейного пространства

17) Формулировка теоремы о преобразовании координат вектора при смене базиса

18) Минор k-ого порядка матрицы , определение ранга матрицы

19) Теорема о сохранении ранга матрицы при элементарных преобразованиях

20) Формулировка теоремы о ранге матрицы

21) Формулировка теоремы о ранге произведения матриц

22) Формулировка теоремы Кронекера-Капелли

23) Элементарные преобразования системы линейных уравнений

24) Однородная и неоднородная система линейных уравнений.

25) Определение базисных строк и столбцов матрицы.

26) Определение базисных и свободных переменных, фундаментальной совокупности решений, частного и общего решения неоднородной системы.

27) Формулировка теоремы о числе решений

28) Альтернативы Фредгольма

29) Собственное число и собственный столбец (вектор) матрицы

30) Характеристический многочлен матрицы

31) Свойства собственных векторов матрицы

Прошу особое внимание обратить на ПРИМЕРЫ к определениям (примеры линейных пространств, примеры линейно зависимых и линейно независимых систем, примеры базисов). В задании обязательно будет предложено привести примеры.

Доказательства

1) Доказать, что (А + В)С = АС + ВС и А(ВС) = (АВ)С

2) Доказать, что (АВ)^Т= В^ТА^Т

3) Доказательство теоремы о смене четности перестановки при транспозиции

4) Доказательство одного из свойств определителя (из доказанных на лекции)

5) Доказательство формулы разложения определителя по строке или столбцу

6) Теорема о взаимной матрице

7) Теорема о существовании обратной матрицы

8) Доказательство единственности обратной матрицы

9) Доказательство формул Крамера

10) Доказательство утверждения 3 теоремы о линейной зависимости

11) Доказательство утверждения 4 теоремы о линейной зависимости

12) Доказательство формулы преобразовании координат вектора при смене базиса.

13) Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду

14) Теорема о ранге матрицы

15) Теорема Кронекера-Капелли

16) Однородная система n уравнений с n неизвестными имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю

17) Теорема о связи собственных чисел и корней характеристического многочлена

Практические задания

1) Нахождение обратной матрицы (при n = 3)

2) Нахождение коммутирующей матрицы (при n = 2)

3) Пример на нахождение ранга матрицы

4) Проверка линейной независимости системы векторов

5) Выделения базиса в линейной оболочке

6) Нахождение координат вектора относительно данного базиса

7) Нахождение матрицы перехода от одного данного базиса к другому

8) Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

9) Пример на построение фундаментальной совокупности решений

10) Пример на нахождение собственных чисел и собственных векторов матрицы

Пример задания коллоквиума

1. (1 балл) Дать определение линейно зависимой и линейно независимой системы векторов.

2. (1 балл) Привести два примера линейного пространства и базиса в нем.

3. (3 балла) Сформулировать и доказать формулу преобразования координат вектора при смене базиса.

4. (1 балл) Дана система векторов а₁, а₂, а₃, а_4. Докажите, что линейные оболочки векторов а₁, а₂, а₃, а₄ и а₁, а₁+а₂, а₂-а₃, а₃+a₄ совпадают.

5. (1 балл) Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

6. (3 балла) Пусть Е = (е₁, е₂, е₃, е₄) базис в R⁴. Заданы векторы а₁ = 2е₁– 3е₂+е₃–2е₄, а₂ = 3е₁+е₂–2е₃+е₄, а₃ = –4е₁–5е₂+5е₃–4e₄, а₄ = е₁+4е₂–3е₃+3е₄.

а) Найдите размерность и базис линейной оболочки Lin(a₁, a₂, a₃, a₄).

б)Найдите разложение вектора x= 3е₁+е₂–2е₃+е₄ в выбранном базисе.