Определение количества участков балки.

Границами участков являются места расположения тех сечений, где происходит скачкообразное изменение: физико-механических характеристик материала конструкций, формы или размеров, а также внешних нагрузок. Рассматриваемая двухопорная балка имеет постоянное поперечное сечение и четыре участка, обозначенные как: участок I - AB, участок II - BC, участок III - CD, участок IV - DE (рис.10).

3. Составление аналитических выражений внутренних усилий Q_y и M_x.

Используем метод сечений. На каждом участке проводим условный разрез в любом месте и берём в рассмотрение одну из двух частей всей балки, ту, к которой приложено меньше нагрузок. Рассматриваем равновесие отсечённой части.

Участок AB. 0 £ z₁ £ 0,6 м.

Рассмотрим равнове­сие левой части балки длиной z₁ (рис. 12, a). Составим уравнения равновесия всех сил относительно точки сечения о :

∑F_y=0 -Q(z₁ )- R_A=0; Q(z₁)= - R_A=-109,4 кН, (постоянная величина).

∑М_о=0 M(z₁ )-m + R_A∙ z₁=0; M(z₁ )= m - R_A∙ z₁, (уравнение прямой линии).

Подставив в полученное выражение для изгибающего момента значения z₁ , соответству­ющие граничным сечениям участка AB, определим величины M(z₁), возникающие в этом сечении:

M(0 )= m =24 кН∙м; M(0,6 )=24-109,4∙0,6= -41,6 кН∙м.

а) б)

Рис.12

а)

б)

в)

г)

Рис.13

Участок BC. 0 £ z₂ £ 0,72 м.

Рассмотрим равнове­сие левой части балки длиной z₂ (рис. 12, б). Составим уравнения равновесия всех сил относительно точки сечения о :

∑F_y=0 -Q(z₂)+F- R_A=0; Q(z₂)=F - R_A=34,6 кН, (постоянная величина).

∑М_о=0 M(z₂ )-m -F∙ z₂+ R_A∙ (z₂+0,6)=0; M(z₂ )= m + F∙ z₂- R_A∙( z₂+0,6).

Подставив в полученное выражение для изгибающего момента значения z₂ , соответству­ющие граничным сечениям участка BC, определим величины M(z₂), возникающие в этом сечении:

M(0 )= m - R_A∙0,6 = 24-109,4∙0,6 = -41,6 кН∙м.

M(0,72 )= m + F∙ 0,72- R_A∙(0,72+0,6)= 24+144∙0,72-109,4∙1,32= -16,7 кН∙м.

Участок DE. 0 £ z₃ £ 0,36 м.

Рассмотрим равнове­сие правой части балки длиной z₃ (рис. 14, а). Составим уравнения равновесия всех сил относительно точки сечения о :

∑F_y=0 Q(z₃ ) - q∙ z₃=0; Q(z₃)= q∙ z₃, (уравнение прямой линии).

Подставив в полученное выражение для поперечной силы значения z₃ , соответству­ющие граничным сечениям участка DE, определим величины Q(z₃), возникающие в этом сечении:

Q(0)=0; Q(0,36)=40∙0,36=14,4 кН.

∑М_о=0 M(z₃ )+q∙ z₃∙ =0; M(z₃ )= - q∙ , (уравнение параболы).

Подставив в полученное выражение для изгибающего момента значения z₃ , соответству­ющие граничным сечениям участка DE, определим величины M(z₃), возникающие в этом сечении:

M(0 )=0; M(0,36 )= -2,6 кН∙м.

Участок CD. 0 £ z₄ £ 1,08 м

Рассмотрим равнове­сие правой части балки длиной z₄ (рис. 14, б). Составим уравнения равновесия всех сил относительно точки сечения о :

∑F_y=0 Q(z₄ )+ R_D - q∙(z₄+0,36)=0; Q(z₄)= -R_D +q∙(z₄+0,36),

(уравнение прямой линии).

а) б)

Рис.14

Подставив в полученное выражение для поперечной силы значения z₄ , соответству­ющие граничным сечениям участка CD, определим величины Q(z₄),

Q(0)= -R_D +q∙0,36= -23+40∙0,36= -8,6 кН.

Q(1,08)= -R_D +q∙(0,36+1,08)= -23+40∙1,44= 34,6 кН.

∑М_о=0 M(z₄ )+q∙( z₄+0,36) ∙ -R_D∙ z₄=0;

M(z₄ )= - q∙ +R_D∙ z₄, (уравнение параболы).

Подставив в полученное выражение для изгибающего момента значения z₄ , соответству­ющие граничным сечениям участка CD, определим величины M(z₄), возникающие в этом сечении:

M(0 )= - q ∙ = - 40 ∙ 0,065= -2,6 кН∙м.

M(1,08 )= - q ∙ + R_D∙ 1,08= - 40 ∙1,04 + 23∙1,08= -16,7 кН∙м.

Поперечная сила Q(z₄) на этом участке принимает в некотором сечении нулевое значение и меняет знак при прохож­дении через него (рис. 12, в). Поэтому в сечении, где Q(z₄)= = 0, будет экстремальное значение изгибающего момента M(z₄). Для его определения найдем величину z₀ , при котором Q(z₄) = 0. Приравняв выражение для Q(z₄) к нулю, получим:

Q(z₄)=0; -R_D +q∙(0,36+z₀)=0; z₀= = = 0,22 м.

Подставив найденное значение z₀ = 0,22 м в выражение для M(z₄), найдем величину экстремального значения изгибающего мо­мента M_max на этом участке:

M_max= - q∙ +R_D∙ z₀=- q ∙ 0,17 + 23 ∙ 0,22 = -1,7 кН∙м.

4.Построение эпюр Q_y и M_x для всей балки.

Откладываем перпендикулярно от оси абсцисс в удобном для пользования масштабе значения Q_y и M_x , возникающие в харак­терных и промежуточных сечениях каждого участка. Соединяем концы полученных ординат линиями, соответствующими законам изменения Q_y и M_x на этих участках; строим эпюры Q_y и M_x для всей балки (рис. 13, в,г).