Системи залежних випадкових величин

Досить часто випадкові величини є залежними, причому визначення однієї величини більш можливе, ніж іншої, що залежить від неї.

Якщо одна з випадкових величин набуває конкретного значення, то це не означає, що і друга набуває конкретного значення. Друга величина теж є випадковою величиною, але її імовірнісні характеристики набувають тих чи інших значень в залежності від конкретного значення першої випадкової величини.

Такими випадковими величинами в енергетиці є, наприклад, добовий виробіток енергії і добовий максимум навантаження енергосистеми, сумарне навантаження і температура зовнішнього повітря.

Таким чином, якщо дві випадкові величини εі η набувають деяких значень x і y і є незалежними, то закон розподілу ймовірностей однієї з них не залежить від закону розподілу іншої. Якщо ж ці величини є залежні, то будь якому значенню однієї з них відповідає той або інший закон розподілу другої величини.

Залежність закону розподілу імовірностей однієї величини від значень іншої називається кореляційною залежністю.

Для системи випадкових величин, так як і для випадкових величин, вводяться поняття функції і густини розподілу.

Для двомірного вектора з координатами (ε ; η):

Графічно – імовірність попадання двомірного вектора на площині в квадрат з вершиною в точці ( x ; y ), розміщеного лівіше і нижче точки.

Аналогічно, імовірність попадання в довільний пря-

мокутник, який обмежений точками :

Імовірність попадання двомірного вектора в деякий квадрат:

Функція розподілу системи випадкових величин є неспадна, причому:

F(-∞;-∞)=F(-∞;y)=F(x;-∞)=0,

F(+∞;+∞)=1,

F(+∞;y)=F (y),

F(-x;+∞)=F (x) – функція розподілу - компонент.

Густина розподілу:

.

Густина розподілу є невід’ємна функція і володіє такою властивістю:

.

На практиці часто розв’язують задачі, в яких визначають закон розподілу системи випадкових величин на основі законів розподілу її компонент. Причому закон розподілу компонент задається умовним законом розподілу.

Умовним законом розподілу будь-якої компоненти двомірного вектора називають закон розподілу, визначений за умови, що всі компоненти, крім вказаної, набули певного значення.

Числові характеристики

Розглянемо поняття моменту.

Початковий момент для дискретних і неперервних випадкових величин:

,

.

Якщо k=s=1, то отримаємо вираз для математичного сподівання ; геометрично – це є координати точки, відносно якої відбувається розсіювання двомірного вектора.

Центральний момент:

,

.

Якщо ks=2, то отримаємо дисперсію, якщо ks=1, то отримаємо центральний момент 1-го порядку, який називається кореляційним моментом або коваріацією (cov). Він характеризує зв’язок між випадковими величинами ε та η, а також їх розсіювання k ( ε ; η ). Для незалежних величин k ( ε ; η ) = 0.

Якщо одна з величин дуже мало відхиляється від свого математичного сподівання, то кореляційний момент буде малим, якою б тісною не була кореляційна залежність. Тому для характеристики зв’язку між випадковими величинами ε і η у чистому вигляді користуються так званим коефіцієнтом кореляції:

- це є діагональна матриця, де δ(ε), δ(η) –стандартні відхилення компоненти, а r ( ε;η ) характеризує лише лінійну ймовірну залежність, тобто ступінь тісноти лінійної залежність між випадковими величинами (кореляційну).

Властивості:

1) для незалежних і залежних некорельованих випадкових величин

;

2) геометрично – середньодисперсійний компонент:

;

3) r (ε;η) не змінюється від додавання до ε і η будь-яких постійних (невипадкових величин) або від множення на них;

4) якщо r лежить в таких межах –1 ≤ (ε;η) ≤ 1, то коли r = –1 або r =1 кореляційний зв’язок замінюється функціональним:

Причому, +1 чи -1 визначається знаками системи координат;

5) якщо r < 0, то з ростом однієї величини друга спадає, і навпаки, якщо r > 0, то обидві величини зростають або спадають.

Мат. сподівання випадкової величини η при значенні іншої взаємопов’язаної величини ε = x називають умовним математичним сподіванням.

Для дискретних випадкових величин:

і неперервних випадкових величин:

,

де - умовна імовірність того, що коли випадкова величина ε = x, то випадкова величина η = y, де y включає в себе всі можливі значення η.

φ (y) – умовна густина імовірності випадкової величини η,коли ε = x.

Очевидно, що залежить від x, тобто є функцією x:

і називається функцією регресії випадкової величини η на випадкову величину ε.

Рівняння y = f(x) називається рівнянням регресії.

Розглянемо найпростіший випадок лінійної кореляції між двома випадковими величинами. Причому рівняння регресії випадкової величини ε та випадкової величини η матиме вигляд:

,

де x - значення випадкової величини ε ;

a –математичне сподівання випадкової величини ε ;

b – математичне сподівання випадкової величини η ;

ρ(η/ε) – коефіцієнт регресії випадкової величини ε на η ;

,

де - стандартне відхилення ε.

;

Коефіцієнт кореляції:

Звідки:

§ 1.5. Математична статистика

Розв’язок будь-яких задач з використанням задач теорії ймовірності в тих випадках, коли використовується їх статистичне визначення, неможливий без отримання відповідного статистичного матеріалу, що базується на великій кількості дослідів.

При цьому виникають задачі, зв’язані з правильною обробкою статистичних матеріалів і надання їм форми, зручної для наступного використання методів теорії ймовірностей.

Розділ теорії ймовірностей,який займається регістрацією, обробкою і аналізом статистичних матеріалів називається математичною статистикою.

Основною метою обробки і аналізу статистичної інформації є виявлення законів розподілу і числових характеристик випадкових величин.

Всі задачі математичної статистики можна розділити на три групи:

1) визначення закону розподілу за статистичними даними (вирівнювання статистичних даних з ростом кількості дослідів); обмежене число дослідів, яке дає можливість визначити F(x), φ(x); об’єм даних повинен бути як можна більшим;

2) перевірка правдоподібності гіпотез. Необхідно визначити, що розбіжність значень густини (функції) теоретичної і статистичної визнані випадковими величинами (через обмежене число дослідів). Якщо малоймовірно, що розбіжність випадкова,то прийняття гіпотези неможливе ;

3) визначення зв’язку між параметрами розподілу: відомі параметри – невідомий розподіл, і навпаки.

Розглянемо питання про точність визначення статистичної імовірності будь-якої події на основі дослідів або спостереження за схемою незалежних випробувань.

Закон великих чисел (теорема Бернуллі): при необмеженому зростанні числа випробувань імовірність того, що різниця між спостереженою відносною частотою деякої події А, що дорівнює m/n,(де n – число випробувань, m – число появи події) і дійсною імовірністю події Р буде менша будь-якого самого малого числа ε→1, тобто:

Це означає, що при достатньо великій кількості випробувань імовірність похибки в заміні ймовірності випадкової події відносною частотою прямує до нуля, але нескінченно велика кількість випробувань нездійснена практично і доводиться обмежуватись деяким великим числом випробувань.

При цьому похибка у визначенні ймовірності за відносною частотою також є випадковою величиною, яка має ту чи іншу ймовірність.

Інтегральна гранична теорема Муавра – Лапласа дозволяє визначити ймовірність тієї чи іншої похибки.

Згідно з нею:

,

де a і b – довільні числа ;

Р – дійсна ймовірність події ; q=1–p.

Один із наслідків цієї теореми:

, (*)

де m/n – відносна частота появи події ;

ε – довільне число ;

Φ(x) – інтеграл імовірності (функція Лапласа).

Це дає можливість визначити наближено ймовірність похибки ε в оцінці ймовірності події р. При визначенні статистичної ймовірності будь-якої події можуть виникнути три задачі, розв’язок яких базується на використанні (*).

Нехай, наприклад, подією буде аварійний вихід в годину вечірнього максимуму енергосистеми будь–якого агрегата. Тоді число випробувань буде число днів спостереження n, а число появи події – число днів, коли даний агрегат знаходиться в період максимуму в аварійному стані.

Задача 1

Знайти найменше число випробовувань, при якому різниця відносної частоти m/n і ймовірності р не перевищує заданої величини ε з надійністю β.

Розв’язок

.

За таблицею знаходимо аргумент .

Задача 2

Знайти ймовірність того, що відхилення відносної частоти m/n від імовірності р буде менша деякої величини ε, коли число випробувань рівне n.

Розв’язок

,

за знайденим значенням α знаходимо з таблиці β.

Задача 3

Знайти максимальне відхилення відносної частоти події m/n від його імовірності p при числі випробувань n і заданій імовірності β.

Розв’язок

Враховуючи, що , знаходять .

Звідси знаходимо ε:

.