Геометрический параметр цилиндрического реактора без отражателя и поле тепловых нейтронов в нём

Большинство энергетических тепловых реакторов имеют цилиндричес­кую форму активной зоны или очень близкую к ней. Среди многих сообра­жений при выборе формы активной зоны побеждает стремление сделать её симметричной, технологичной и удобной для организации теплосъёма.

Геометрический параметр В_г² критической цилиндрической активной зоны может быть с равным успехом найден и из решения уравнения кри­тичности, и из решения волнового уравнения, но первое является транс­цендентным и не разрешается относительно В² аналитически, следователь­но, при известных величинах k_¥, L² и t_т из уравнения критичности можно найти только величину В² (методом последовательных приближений), но нельзя получить удобной аналитической за­висимости В_г² от размеров активной зоны (радиуса и высоты её).

Такое выражение В² = f(R_аз,H_аз) можно получить только после реше­ния волнового уравнения и разрешения его относительно В_г²:

B_г² = - [Ñ ²Ф(r)] / [Ф(r)], (6.4.1)

Но волновое уравнение - дифференциальное уравнение второго поряд­ка в частных производных, поэтому для получения конкретного (частного) его решения надо обязательно располагать парой граничных условий.

6.4.1. Граничные условия для решения волнового уравнения. Предпо­ложим вначале для простоты, что речь идёт о гомогенной цилиндрической активной зоне, окруженной пустотой (вакуумом). Почему именно пустотой?

Дело в том, что вакуум, кроме того, что он даёт возможность срав­нивать различные критические активные зоны в одинаковых условиях, яв­ляется в некотором смысле абсолютным поглотителем утекающих из актив­ной зоны нейтронов, поскольку он не содержит в себе объектов, с кото­рыми нейтрон может столкнуться, изменить направление движения и вер­нуться обратно в активную зону.

Единственной точкой цилиндрической гомогенной активной зоны, о ве­личине плотности потока тепловых нейтронов мы можем хоть что-то ска­зать, является центр её (середина её высоты по оси симметрии). И един­ственное, что мы можем сказать относительно плотности потока тепловых нейтронов в этой точке, - то, что величина Ф(r) в ней максимальна, по­скольку это - наиболее удалённая от всех границ активной зоны точка, и возможности для утечки тепловых нейтронов из неё за пределы активной зоны минимальны. z

0 r

Рис.6.6. Размещение начала цилиндрической системы координат в

геометрическом центре цилиндрической активной зоны.

И если поместить начало цилиндрической системы координат в центр активной зоны (рис.6.6), то первое граничное условие

Ф(r=0,z=0) = Ф_о = Ф_max

- выглядит неопределённо, так как неясна конкретная величина это­го максимума. Это же граничное условие (как условие максимума функции Ф(r,z)) можно записать более определённо:

(dФ/dr)_z=o = 0 и (dФ/dz)_r=o = 0. (6.4.2)

Второе граничное условие в такой ситуации должно быть обязательно нетривиальным, то есть должно указывать на любое конкретное значение функции Ф(r,z) в какой-либо точке активной зоны. Здесь мы выдыхаемся: при всем желании указать такую точку в пределах активной зоны мы не в состоянии. На действительных границах активной зоны (при r = R_аз или z = ± H_аз/2) ве­личина плотности потока тепловых нейтронов - явно не нулевая.

Поэтому в качестве второго граничного условия вводится искусствен­ное условие, состоящее в следующем.

Предположим, что распределения Ф(r) и Ф(z) в пределах активной зоны от центра к периферии имеет характер нелинейного уменьшения. Но, если вообразить (рис.6.7), что функция Ф(r), переходя через границу ак­тивной зоны, продолжает уменьшаться линейно, причём, с тем же угловым коэффициентом, что и на границе активной зоны, то на некотором отстоя­нии d от границы активной зоны линейно-экстраполированная таким образом функция Ф(r) уменьшается до нуля.

Отстояние (d) от границы активной зоны в вакуум, на котором ли­нейно-экстраполированная на границе активной зоны функция распре­деления плотности потока тепловых нейтронов обращается в нуль, на­зывается длиной линейной экстраполяции.

Условная цилиндрическая поверхность, эквидистантно отстоящая от поверхности реальной цилиндрической активной зоны на длину ли­нейной экстраполяции, называетсяэкстраполированной границей ак­тивной зоны.

Величины полуразмеров реальной цилиндрической активной зоны, увеличенные на длину линейной экстраполяции, называют экстраполи­рованными полуразмерами активной зоны:

R'= R_аз + d (6.4.3)

H'/2 = H_аз/2 + d (6.4.4)

Ф ( r )

Действительные границы активной зоны

Касательная к графику Ф(r) на границе активной зоны

r

Длина линейной экстраполяции d

Экстраполированные границы активной зоны

Действительный радиус

активной зоны R_аз R_аз + d = R¢ - экстраполированный радиус активной зоны

Рис.6.7. К понятию длины линейной экстраполяции, экстраполирован­ных границ

и экстраполированных размеров активной зоны.

Кинетическая теория даёт простую формулу для длины линейной экс­траполяции:

d = 0.7104 l_tr = 0.7104 / S_tr (6.4.5)

Учитывая сказанное, второе граничное условие звучит просто:

На экстраполированных границах активной зоны величина плотности потока тепловых нейтронов равна нулю:Ф(r=R') = 0 и Ф(z=±H'/2) = 0 (6.4.6)

6.4.2. Результат решения волнового уравнения для цилиндрической гомогенной активной зоны. Если записать волновое уравнение в цилиндри­ческой системе координат, начало которой совпадает с центром активной зоны, и решить его при обозначенных выше граничных условиях, то интег­рал этого уравнения будет иметь вид:

(6.4.7)

Выражение (6.4.7) означает, что:

- распределение величины плотности потока тепловых нейтронов по высоте цилиндрической гомогенной активной зоны (в точках равно­удаленных от оси симметрии на расстояние r)подчиняется закону косинуса:

Ф(z) _r=idem = Ф_оr cos(pz/H'), (6.4.8)

где Ф_оr = Ф(z=0, r) - значение плотности потока тепловых нейтронов на цилиндрической поверхности радиуса r на середине высоты активной зоны (рис.6.8):

d

d d

r

d

Рис.6.8. Эпюры распределения плотности потока тепловых нейтронов по высоте цилиндрической

гомогенной активной зоны по оси симметрии и на разных отстояниях от оси.

z

d

d d

r

d

Рис.6.9. Эпюры распределения плотности потока тепловых нейтронов по радиусу

цилиндрической гомогенной активной зоны на разных уровнях по её высоте.

- распределение плотности потока тепловых нейтронов по радиусу активной зоны (в плоских круговых поверхностях на любой фиксиро­ванной высоте z над (или под) центром активной зоны) подчиняется закону функции Бесселя первого рода нулевого порядка:

Ф(r) _z=idem= Ф_оz I_o(2.405r/R'), (6.4.9)

где Ф_оz = Ф(z,r=0) - значение плотности потока тепловых нейтронов на оси симметрии активной зоны на высоте z (рис.6.9).

Функция Бесселя первого рода нулевого порядка I_o(x) для действи­тельного аргумента x появляется при решении волнового уравнения в ци­линдрической системе координат. Начальный участок графика этой функции (при изменении x в пределах от 0 до 2.405) напоминает график функ­ции косинуса в пределах от 0 до p/2: при x = 0 I_o = 1, а при x = 2.405 I_o = 0 (рис.6.10). Более того, значения этих функций при значениях ар­гумента x в указанных интервалах их с точностью до + 2% совпадают.

I₀(x) 1.0

0.5

- 0.5

Х

Рис.6.10. График функции Бесселя первого рода нулевого порядка Io(x) для действительного аргумента.

В связи с тем, что график I_o(x) пересекает ось абсцисс при x_o = 2.405, это значение аргумента называют первым корнем (или первым нулём) функ­ции Бесселя первого рода нулевого порядка.

Функция I_o(x), наряду с другими бесселевыми функциями, приводится в графическом и табличном виде в справочниках по специальным функциям.

Характер косинусоидально-бесселевского распределения плотности по­тока тепловых нейтронов в цилиндрической гомогенной активной зоне действителен (совпадает с реальным) для любых точек активной зоны, исклю­чая точки, лежащие в пределах относительно тонкого приграничного слоя толщиной ~ 2l_tr среды активной зоны, где действительный характер рас­пределения Ф(z,r) несколько отклоняется от аналитического в сторону уве­личения.

Учитывая, что транспортные макросечения сред активных зон ВВЭР не превышают нескольких см ^-1, соответствующие им величины длины линейной экстраполяции d оказываются не выше 1 см. Поэтому распределение Ф(z,r) в цилиндрических гомогенных активных зонах с размерами более 1 м фак­тически определяется не столько величиной d, сколько действительными размерами активной зоны.

Этот вывод справедлив и для гетерогенных тепловых реакторов.

6.4.3. Выражение для геометрического параметра цилиндрической ак­тивной зоны. Это выражение получается путём подстановки решения волно­вого уравнения (6.4.7) в равенство (6.4.1). После преобразований полу­чается:

B_г² = (p/H')² + (2.405/R')² (6.4.10)

Как видим, геометрический параметр имеет размерность см^-2, а его величина обратно пропорциональна квадрату линейных размеров активной зоны реактора.

О величине геометрического параметра говорят такие цифры:

- для реактора космической спутниковой электростанции (R'» 6 см, H'~ 11 см) величина В_г² » 0.2422 см^-2;

- для реактора морского атомохода (R' » 50 см, H' » 100 см) В_г² » 3.3 10^-3 см^-2;

- для реактора ВВЭР-1000 (R' = 158 см, H' = 355 см) В_г² = 3.1 10^-4 см^-2;

- для реактора РБМК-1000 (R' = 590 см, H' = 700 cм) В_г² = 3.7 10^-5 см^-2.

Падающий характер изменения величины В_г² с ростом линейных разме­ров активной зоны позволяет качественно разрешить вопрос о соотношении величин геометрического и материального параметров в некритических ре­акторах (в критических реакторах, как уже отмечалось, В_г² = В_м²).

Величина материального параметра для любого реактора определяется только составом материалов, входящих в его активную зону. Следователь­но, для гетерогенного реактора, активная зона которого состоит из одинаковых ячеек, величина материального параметра для всей активной зоны уже определена составом материалов одиночной ячейки: ведь соотношение материалов в одиночной ячейке и во всей активной зоне, составляемой из определённого числа таких ячеек, одинаково. Значит, величина материаль­ного параметра от числа размещаемых в его активной зоне ячеек не зависит и в процессе загрузки топливных ячеек в активную зону не меняется.

Теперь представим себе процесс зарядки активной зоны и доведения её до критического состояния: в загруженный замедлителем реактор вна­чале вставляется центральная ТВС, затем вокруг неё размещается первый слой из 6 таких же ТВС, затем последовательно ставятся на свои места 12 ТВС второго слоя, затем - 18 ТВС третьего слоя и т.д., - до тех пор, по­ка не будет набрано критическое количество ТВС, при котором в активной зоне начинается самоподдерживающаяся цепная реакция деления.

Ясно, что в процессе доведения активной зоны до критического со­стояния растёт радиус набора активной зоны, а значит, величина геомет­рического параметра:

B_г² = (p/H')² + (2.405/R')²

в процессе набора критической массы будет уменьшаться. И когда активная зона достигнет критичности, величина геометрического параметра снизится до величины материального параметра.

Таким образом, в подкритическом реакторе величина геометрического параметрабольше величины материального параметра, а в надкритическом (который получился бы, если бы в активную зону добавили еще одну ТВС сверх критического их количества) - наоборот - величина материального параметра стала быбольше величины геометрического параметра.

6.4.4. Оптимальное соотношение размеров цилиндрической активной зоны. Из всего сказанного в принципе должно быть ясно, как рассчиты­вать критические размеры активной зоны цилиндрического гомогенного ре­актора по заданному составу материалов его активной зоны:

а) по составу материалов активной зоны рассчитать величины их эф­фективных микросечений и средних макросечений для всей среды активной зоны;

б) рассчитать h, e, j, q, t_т и L², то есть получить k_¥, t_т и L²;

в) методом последовательных приближений решить уравнение критич­ности реактора

k_¥ exp(-B²t_т)/(1 + B²L²) = 1

относительно величины В², являющейся в критическом реакторе и ма­териальным, и геометрическим параметром;

г) подставляя найденную величину В² в её выражение:

(p/H')² + (2.405/R')² = B², (6.4.11)

можно было бы искать экстраполированные критические размеры ак­тивной зоны реактора (Н' и R'), но одно уравнение с двумя неизвестными имеет бесчисленное множество пар решений. Иными словами, одному и тому же значению В² удовлетворяют и блинообразные активные зоны (с малым отношением Н'/R'), и, наоборот, колоннообразные активные зоны (с большим отношением Н'/R'). Следовательно, для получения определённого решения уравнения (6.4.11) необходимо задаться величиной соотношения размеров активной зоны (Н'/R'). Из каких соображений?

- Из соображений экономии нейтронов: из стремления при данной ве­личине объёма активной зоны сделать минимальной утечку тепловых нейт­ронов. При одинаковой плотности тока утечки тепловых нейтронов по всей поверхности активной зоны решение задачи на минимум утечки сводится к решению задачи на минимум поверхности цилиндрической активной зоны при заданном ее объёме. Это имеет место при соотношении (Н'/R') = 2, то есть когда высота цилиндра равна его диаметру.

Но на цилиндрической части поверхности активной зоны градиент плот­ности потока тепловых нейтронов получается немного выше, чем на плос­ких поверхностях верхнего и нижнего торцов активной зоны, а, значит, величины плотности тока утечки тепловых нейтронов на цилиндрической поверхно­сти будут выше, чем на плоских торцах.

Поэтому для нахождения минимально-возможной общей утечки тепловых нейтронов из активной зоны необходимо решать задачу на экстремум для величины общего тока утечки тепловых нейтронов через всю поверхность активной зоны (S):

I_общ = ò I(S) dS

^(S)

Решение этой задачи дает оптимальное соотношение размеров цилинд­рической активной зоны

(H'/R')_opt = 1.948 (6.4.12)

по соображениям экономии тепловых нейтронов в активной зоне.

Цилиндрические активные зоны с (Н'/R')<1.948 принято называть уп­лощёнными (т.е. более плоскими по сравнению с активными зонами с опти­мальным соотношением размеров), а зоны с (H'/R')>1.948 - удлинёнными.

Например, активная зона РБМК-1000 (Н_аз = 7м, D_аз = 11.8 м) характеризу­ется отношением Н'/R' » 1.19, т. е. является сильно уплощённой, а ак­тивная зона ВВЭР-1000 (Н_аз = 3.55 м, R_аз =1.58 м, Н'/R' » 2.25) - является явно сильно удлинённой. В той и другой активных зонах экономия тепло­вых нейтронов оказалась принесённой в жертву иным соображениям.

В ВВЭР-1000 уменьшение отношения Н'/R' привело бы к увеличению ди­аметра активной зоны за счёт сокращения её высоты, а вместе с этим - и к увеличению диаметра корпуса реактора, а, значит, - к увеличению тол­щины стенки корпуса (корпус - сосуд, работающий под большим давлением), материалоёмкости реактора и к увеличению его стоимости. Именно поэтому (главным образом) активная зона ВВЭР-1000 выполнена удлинённой.

У РБМК-1000 (канального реактора) таких проблем нет: активная зона находится под незначительным давлением азотно-гелиевой смеси, охлаждаю­щей графитовую кладку; высокое давление имеет место только внутри труб технологических каналов; уменьшение высоты активной зоны (или высоты технологических каналов) за счёт увеличения диаметра активной зоны оказывается даже благотворным делом: с точки зрения укорочения технологических каналов и увеличения численности параллельно работающих каналов, при котором снижается гид­равлическое сопротивление активной зоны, а, значит, - и энергетические затраты на циркуляцию теплоносителя в контуре МПЦ.

Краткие выводы

а) Диффузия тепловых нейтронов в реакторе подчиняется закону Фика

I(r) = - D ÑФ(r),

где коэффициент диффузии D (согласно выводу кинетической теории): D = 1/3S_tr.

б) Главное влияние процесса диффузии на размножающие свойства ак­тивной зоны прослеживается через величину вероятности избежания утечки тепловых нейтронов p_т, которая определяется величиной геометрического параметра активной зоны В² и характеристикой диффузионных свойств сре­ды активной зоны - длиной диффузии L. Величина p_т определяется выраже­нием:

p_т = (1 + B²L²) ^-1.

в) Длина диффузии представляет собой логический аналог средней длины замедления применительно к процессу диффузии тепловых нейтронов в среде и является мерой среды давать определённое среднеквадратичное пространственное смещение тепловых нейтронов в ней в процессе их диффузии. Квадрат длины диффузии определяется выражением:

L² = (3S_a S_tr)^-1

г) Величина длины диффузии в любом веществе с ростом его темпера­туры однозначно растёт: _{________}

L²(t) = L_o² ÖТ_н/293 [g_o / g (p,t)]²

д) В процессе нахождения p_т получены два фундаментальных уравне­ния критического реактора - уравнение критичности:

he j q exp(-B²t_т) (1 + В²L²)^-1 = 1,

представляющее собой развернутое условие критичности реактора в зависимости от его нейтронно-физических характеристик и геометрических свойств активной зоны, и волновое уравнение:

ѲФ(r) + B²Ф(r) = 0 ,

решение которого для конкретной активной зоны дает функцию Ф(r) распределения плотности потока тепловых нейтронов в объёме реактора.

е) В цилиндрическом гомогенном реакторе без отражателя распреде­ление плотности потока тепловых нейтронов по высоте и радиусу реактора подчинено косинусоидально-бесселевому закону:

Ф(z,r) = Ф_о cos(pz / H') I_o(2.405r /R'),

где максимальное значение плотности потока тепловых нейтронов Ф_о имеет место в геометрическом центре цилиндрической активной зоны.

ж) Величина геометрического параметра В_г² для цилиндрического ре­актора без отражателя определяется выражением:

B_г² = [p/(H_аз+ 2d)]² + [2.405/(R_аз+d)]²,

в котором величина d = 0.7104/S_tr - длина линейной экстраполяции.

з) В подкритическом реакторе В_г² > B_м², в критическом В_г² = В_м², а в надкритическом - В_г² < B_м².