Альтернативный вывод соотношений для системы M/M/1

Свойство отсутствия памяти с предположение о независимости интервалов между поступлениями и длительностью обслуживания означают, что если известно , т. е. число требований в системе в момент, то будущие моменты поступления или завершения обслуживания не зависят от моментов поступления требований, которые находятся в данный момент в системе, и от того, сколько времени уже обслуживалось требование, которое в данный момент находится в обслуживающем приборе (если таковое имеется). Это означает, что является цепью Маркова с непрерывным временем (марковским процессом).

Мы могли бы рассматривать процесс в терминах теории цепей Маркова с непрерывным временем как в большей части литературы по системам массового обслуживания. Однако для наших целей в этом разделе достаточно использовать более простую теорию цепей Маркова с дискретным временем.

Обратим внимание на моменты

где – малое положительное число. Введем обозначение – число требований в системе в момент . Поскольку – цепь Маркова с непрерывным временем, получаем что – цепь Маркова с дискретным временем. Обозначим через соответствующие переходные вероятности

.

Получаем

, (1)

, (2)

, (3)

, (4)

.

В состоянии вероятность того, что в интервале не поступит ни одно требование и ни одно требование не уйдет из системы, равна . Это следует из того, что число поступлений и число уходов имеют пуассоновское распределение и не зависят друг от друга. Разлагая эту вероятность в ряд по , получаем

(5)

Аналогично имеем, что

,

.

Сумма этих вероятностей равна единице плюс . Таким образом, вероятность более чем одного поступления или ухода пренебрежимо мала при малых . Это означает, что – вероятность одинакового числа поступлений и уходов в интервале с точностью до совпадает с вероятностью (5); это показывает справедливость равенства (2). Соотношения (1), (3), (4) устанавливаются аналогичным образом.

Диаграмма переходов из состояния в состояние цепи Маркова показана на рис. 1, на нем члены опущены.

Рис. 1. Цепь Маркова с дискретным временем для системы M/M/1.Состояние соответствует наличию требований в системе. Переходные вероятности показаны с точностью до члена

Рассмотрим теперь стационарные вероятности

.

Заметим, что при любых в течение времени от до общее число переходов из состояния в состояние (в одну и другую сторону) должно отличаться не более чем на 1. Аналогично общее число переходов из состояния в состояние (в одну и другую сторону) также должно отличаться не более чем на 1. Таким образом, в стационарном режиме вероятность того, что система находится в состоянии и при следующем переходе попадает в состояние , равна вероятности того, что система находится в состоянии и делает переход в состояние , т. е.

. (6)

Так как не зависит от , устремляя , получаем

где .

Отсюда следует, что

. (7)

Если (скорость обслуживания превышает скорость поступлений, а сумма вероятностей равна единице), то

. (8)

Это соотношение вместе с формулой (7) окончательно дает

. (9)

Теперь можно вычислить среднее число требований в системе в стационарном режиме

и, наконец, используя равенство , получаем

. (10)

Это равенство показано графически на рис. 2. При увеличении значение также увеличивается и при имеем . График справедлив при . Если , обслуживающий прибор не может справиться с потоком поступлений требований и очередь неограниченно возрастает. В терминах системы пакетной передачи означает, что , где – скорость поступления (в числе пакетов в секунду), – средняя длина пакета в битах, – пропускная способность канала в битах в секунду.

Средняя задержка требования (время ожидания в очереди плюс время обслуживания), согласно теореме Литтла, равна

. (11)

Подставляя , получаем

. (12)

Среднее время ожидания в очереди равно средней задержке пакета минус среднее время обслуживания , поэтому

.

Из теоремы Литтла получаем, что среднее число требований в очереди равно

.

Очень полезно рассматривать величину как коэффициент использования системы массового обслуживания, т. е. как стационарную долю времени, в течение которой занят обслуживающий прибор. Мы этот коэффициент можем рассматривать по-другому. Имеем , где – вероятность того, что в системе нет требований; получается другое доказательство для формулы .

Проиллюстрируем эти результаты на некоторых примерах, относящихся к сетям передачи данных.

Пример.Увеличение скорости поступления и скорости передачи в одинаковое число раз

Рассмотрим систему пакетной передачи, в которой скорость поступления (в пакетах в секунду) увеличивается от до , где – некоторый числовой коэффициент. Распределение длины пакетов остается неизменным, а пропускная способность возрастает в раз, так что среднее время передачи пакета становится равным вместо . Отсюда следует, что коэффициент использования линии и, следовательно, среднее число пакетов в системе остаются неизменными

.

Однако средняя задержка пакета теперь будет равна и, следовательно, уменьшается в раз. Иначе говоря, линия передачи, которая передает в K раз быстрее, будет передавать в K раз больше пакетов в секунду со средней задержкой пакета в K раз меньшей. Этот результат общий и даже применим к сетям связи. Как показано на рис. 3, при увеличении скорости поступления и скорости обслуживания в K раз вероятностные характеристики процесса массового обслуживания не изменяются, за исключением временного масштаба – процесс ускоряется в K раз. Таким образом, когда пакет поступает в систему, он обнаруживает перед собой в вероятностном смысле такое же число пакетов, как и в случае низкоскоростной линии передачи. Однако пакеты, стоящие впереди него, будут продвигаться в K раз быстрее.

Рис. 3а. Увеличение интенсивности поступления пакетов и скорости обслуживания в одинаковое число раз (исходная диаграмма)

Рис. 3б. Увеличение интенсивности поступления пакетов и скорости обслуживания в одинаковое число раз (диаграмма после увеличения интенсивностей в K раз)

Пример.Статистическое уплотнение по сравнению с временным и частотным уплотнением

Предположим, что статистически одинаковых и независимых пуассоновских потоков передаются по линии связи со скоростью пакетов в секунду каждый. Длины пакетов во всех потоках независимы и имеют экспоненциальное распределение. Среднее время передачи равно . Если потоки сливаются в один пуассоновский поток с интенсивностью , как это происходит при статистическом уплотнении, средняя задержка пакета становится равной

.

Если вместо этого пропускная способность канала делится на равных частей, по одной для каждого потока пакетов, каждая часть ведет себя как система массового обслуживания M/M/1 со скоростью поступления и средней скоростью обслуживания . Следовательно, средняя задержка пакета равна

,

т. е. в раз больше, чем при статистическом уплотнении.

Приведенные соображения показывают, что уплотнение большого числа потоков путем распределения их по отдельным каналам линии передачи является очень неэффективным в смысле задержки.

Эффективность системы становится еще хуже, если пропускная способность каналов распределяется не прямо пропорционально интенсивностям соответствующих потоков; пропорциональное распределение невозможно провести (по крайней мере в модели, которая рассматривается здесь), если интенсивности потоков меняются с течением времени, поэтому сети передачи данных со многими конкурирующими потоками, имеющие малые периоды занятости, строятся на основе некоторой формы статистического уплотнения. Соображения в пользу временного или частотного уплотнения появляются, если все потоки являются регулярными (в противоположность пуассоновскому) в том смысле, что пакет не поступает, если передается другой, и поэтому, если такой поток передается по предназначенной для него линии, пакетов, ожидающих в очереди, нет.

N-КАНАЛЬНАЯ СМО С ОТКАЗАМИ(задача Эрланга)

Имеется каналов (линий связи), на которые поступает поток заявок с интенсивностью . Поток обслуживаний имеет интенсивность . Найти финальные вероятности состояний СМО, а также характеристики ее эффективности:

–абсолютную пропускную способность, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

– относительную пропускную способность, т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;

– вероятность отказа, т.е. того, что заявка покинет СМО не обслуженной;

– среднее число занятых каналов.

Состояния системы будем нумеровать по числу заявок, находящихся в системе (в данном случае оно совпадает с числом занятых каналов):

– в СМО нет ни одной заявки;

– в СМО находится одна заявка (один канал занят, остальные свободны);

…

– в СМО находится k заявок (k – каналов заняты, остальные свободны);

…

– в СМО находится n заявок (все n каналов заняты).

Граф состояний СМО соответствует схеме размножения и гибели.

Из в систему переводит поток с интенсивностью (как только приходит заявка система переходит из состояния в состояние ). Тот же поток заявок переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое.

Поставим интенсивности у нижних стрелок. Пусть система находится в состоянии (работает один канал). Он производит обслуживаний в единицу времени. Проставляем у стрелки интенсивность . Теперь представим себе, что система находится в состоянии (работают два канала). Чтобы ей перейти в , нужно, чтобы либо закончил обслуживание первый канал, либо второй; суммарная интенсивность их потоков обслуживаний равна ; проставляем ее у соответствующей стрелки. Суммарный поток обслуживаний, даваемый тремя каналами, имеет интенсивность , k каналами – . Проставляем эти интенсивности у нижних стрелок на рисунке.

А теперь, зная все интенсивности, воспользуемся уже готовыми формулами для финальных вероятностей в схеме рождения и гибели

. (1)

Члены разложения представляют собой коэффициенты при в выражениях для :

. (2)

Заметим, что в формулы (1) и (2) интенсивности и входят не по отдельности, а только в виде отношения . Обозначим и будем называть величину “приведенной интенсивностью потока заявок”. Ее смысл – среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Тогда

, (4)

. (5)

Формулы (4) и (5) для финальных вероятностей состояний называются формулами Эрланга.

Найдем – вероятность того, что пришедшая заявка получит отказ (не будет обслужена). Для этого нужно, чтобы все n каналов были заняты, значит,

. (6)

Отсюда находим относительную пропускную способность – вероятность того, что заявка будет обслужена:

. (7)

Абсолютную пропускную способность мы получим, умножая интенсивность потока заявок на :

. (8)

Осталось найти среднее число занятых каналов . Эту величину можно было бы найти “впрямую”, как математическое ожидание дискретной случайной величины с возможными случайными значениями и вероятностями этих значений :

.

Подставляя сюда выражения (5) для и выполняя соответствующие преобразования, мы, в конце концов, получили бы верную формулу для . Но мы выведем ее гораздо проще. В самом деле, нам известна абсолютная пропускная способность . Это – не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок. Каждый занятый канал обслуживает в среднем заявок. Значит, среднее число занятых каналов равно

, (9)

или учитывая (8),

.