Символьные операции пакета Mathcad

Вид преобразования	Пункты меню Symbolics	Описание
Упрощение	Simplify	Упростить выражение с выполнением таких операций, как сокращение подобных слагаемых, приведение к общему знаменателю, использование основных тригонометрических тождеств и т. д.
Расширение	Expand	Раскрыть выражение (раскрываются суммы и произведения, тригонометрические функции разлагаются по тригонометрическим тождествам).
Разложение на множители	Factor	Разложить число или выражение на простые множители.
Приведение подобных слагаемых	Collect	Привести подобные слагаемые полинома.
Коэффициенты полинома	Coeffs	Определить коэффициенты полинома относительно указанной переменной.
Разложение на элементарные дроби	Partfrac	—
Разложение в ряд Тейлора	Series	—
Преобразование Лапласа	Laplace	—
Обратное преобразование Лапласа	Invlaplace	—
Преобразование Фурье	Fourier	—
Обратное преобразование Фурье	Invfourier	—

Символьная операцияSimplify (Упростить) — одна из самых важных. Эта операция позволяет упрощать математические выражения, содержащие алгебраические и тригонометрические функции, а также выражения со степенными многочленами (полиномами). Упрощение означает замену более сложных фрагментов выражений на более простые. Приоритет тут отдается простоте функций. К примеру, функция tan(x) считается более сложной, чем функции sin(x) и cos(x). Поэтому tan(x) упрощается так, что получает представление через соотношение этих функций.

Эта команда открывает широкие возможности для упрощения сложных и плохо упорядоченных алгебраических выражений. На рис. 2 даны примеры применения операцииSimplify.

Рис. 2.

Система Mathcad содержит встроенную функцию для вычисления значений определенных интегралов приближенным численным методом. Ею целесообразно пользоваться, когда нужно просто получить значение определенного интеграла в виде числа.

Однако командаSimplify применительно к вычислениям определенных интегралов делает гораздо больше — она ищет аналитическое выражение для интеграла. Более того, она способна делать это и при вычислении кратных интегралов, пределы которых — функции. Наглядный пример этому продемонстрирован на рис. 3.

Рис. 3.

ОперациюSimplify можно использовать и для вычисления сумм и произведений символьных последовательностей. Результат операции, как и следовало ожидать, получается в символьной форме (если она существует) (рис. 4).

Рис. 4.

Приведенные примеры могут создать впечатление, что Mathcad лихо справляется со всеми производными, интегралами, суммами и произведениями с помощью операцииSimplify. К сожалению, это далеко не так. Нередко система не справляется с кажущимися простыми справочными примерами. Надо помнить, что символьный процессор системы Mathcad обладает заметно урезанной библиотекой функций и преобразований (в сравнении с библиотекой системы Maple V). Поэтому часто система не находит решение в замкнутом виде, хотя оно и приводится в справочнике. Тогда система повторяет введенное выражение или сообщает об ошибке.

В результате преобразований могут появляться специальные функции — как встроенные в систему (функции Бесселя, гамма-функция, интеграл вероятности и др.), так и ряд функций, дополнительно определенных при загрузке символьного процессора (интегральные синус и косинус, интегралы Френеля, эллиптические интегралы и др.). Последние нельзя использовать при создании математических выражений.

Действие операцииExpand (Разложить по степеням) в известном смысле противоположно действию операцииSimplify. Подвергаемое преобразованию выражение расширяется с использованием известных (и введенных в символьное ядро) соотношений, например алгебраических разложений многочленов, произведений углов и т. д. Разумеется, расширение происходит только в том случае, когда его результат однозначно возможен. Иначе нельзя считать, что действие этой операции противоположно действию операцииSimplify.К примеру, операцияSimplify преобразует сумму квадратов синуса и косинуса в 1, тогда как обратное преобразование многозначно и потому в общем виде невыполнимо.

При преобразовании выражений операцияExpandстарается более простые функции представить через более сложные, свести алгебраические выражения, представленные в сжатом виде, к выражениям в развернутом виде и т. д. Примеры действия операцииExpandданы на рис. 5.

Рис. 5.

Последний пример показывает, что результатом операции может быть специальная математическая функция, которая считается более сложным выражением, чем порождающее ее выражение. С виду, однако, выражения со специальными математическими функциями обычно выглядят гораздо проще, чем исходные выражения.

ОперацияFactor(Разложить на множители) используется для факторизации — разложения выражений или чисел на простые множители. Она способствует выявлению математической сущности выражений; к примеру, наглядно выявляет представление полинома через его действительные корни, а в том случае, когда разложение части полинома содержит комплексно-сопряженные корни, порождающее их выражение представляется квадратичным трехчленом. Примеры действия этой операции даны на рис. 6.

Рис. 6.

В большинстве случаев (но не всегда) операция факторизации ведет к упрощению выражений. Термин «факторизация» не является общепризнанным в отечественной математической литературе, но мы его оставляем в связи с созвучностью с англоязычным именем этой операции.

ОперацияCollect(Разложить по подвыражению) обеспечивает замену указанного выражения выражением, скомплектованным по базису указанной переменной, если такое представление возможно (рис. 7). В противном случае появляется окно с сообщением о невозможности комплектования по указанному базису.

Рис. 7.

Эта команда особенно удобна, когда заданное выражение есть функция ряда переменных и нужно представить его в виде функции заданной переменной имеющей вид степенного многочлена. При этом другие переменные входят в сомножители указанной переменной, представленной в порядке уменьшения ее степени.

ОперацияPolynomial Coefficients(Полиномиальные коэффициенты) служит для вычисления коэффициентов полинома. Операция применяется, если заданное выражение – полином (степенной многочлен) или может быть представлено таковым относительно выделенной переменной. Результатом операции является вектор с коэффициентами полинома (рис. 8).

Рис. 8.