Принципи побудови системи числення

Числова інформація в комп'ютерах характеризується:

• системою числення (двійкова, десяткова та іи.);

• видом числа (числа дійсні, комплексні, масиви); .

• типом числа (змішане, ціле, дробове);

• формою представлення числа (місце коми) — з природною (змінного), фік­сованою, плаваючою комами;

• розрядною сіткою і форматом числа;

• діапазоном і точністю подання чисел;

• способом кодування від'ємних чисел — прямим, оберненим та доповняль­ним кодами;

• алгоритмами виконання арифметичних операцій.

Системою числення називається сукупність цифр і правил для записування чисел. Запис числа у деякій системі числення називається його кодом.Усі системи числення поділяють на позиційні й непозиційні. Для запису чисел у позиційній систе­мі числення використовують певну кількість графічних знаків (цифр і букв), які відріз­няються один від одного. Число таких знаків називається основою позиційної си­стеми числення.В комп'ютерах використовують позиційні системи з різною осно­вою.

Систе­ма числення повинна забезпечувати:

• можливість представлення будь-якого числа в заданому діапазоні;

• однозначність, стислість запису числа і простоту виконання арифметичних операцій;

• досягнення високої швидкодії машини в процесі оброблення Інформації.

Число в позиційній системі можна представити поліномом:

де q — основа системи числення; — вага позиції; Î {0, 1…, (q-1)} —цифри в позиціях числа; 0, 1, ... к — номери розрядів цілої частини числа;-1, -2, …, -m — номери розрядів дробової частини числа

Позиційні системи з однаковою основою в кожному розряді називаються одно­рідними.Оскільки на значення q немає ніяких обмежень, то теоретично можлива нескінченна множина позиційних систем числення.

На практиці застосовують скорочений запис полінома у вигляді послідов­ності цифр із знаком залежно від типу числа:

· для змішаного числа

;

· для цілого числа

;

· для правильного дробу

.

При однаковій розрядності в системах числення з більшою основою можна записати більше різних чисел.

Достоїнством двійкової системи числення є: простота виконання арифметичних операцій; наявність надійних мікроелектронних схем з двома стійкими станами (тригерів), призначених для зберігання двійкового розряду – цифр 0 або 1. Двійкові цифри називають бітами. У двійково-десятковій системі числення кожна десяткова цифра записується чотирма двійковими розрядами (тетрадами)

Приклад. Запис десяткового числа в двійково-десятковій системі:

Вибір системи числення

У комп'ютерах в основному використовують однорідні позиційні системи чис­лення, при виборі основи qцих систем враховують такі показники:

1. Наявність фізичних елементів для зображення цифр системи у вигляді од­ного із qстанів, наприклад, різниці напруг. Зменшення числа станів спрощує фізичний елемент, тому найбільш сприйнятою є двійкова система.

2. Економічність системи числення. Система з більшою основою qзабезпечує представлення певного числа меншою кількістю розрядів. Але при цьому ускладнюється побудова фізичного елемента з більшим числом станів.

Ефективність системи числення з основою , оцінюється кількістю циф­рових розрядів , необхідних для зображення певного числа з довжиною , тобто . При цьому враховується, що зменшення значення призводить до зменшення електронних схем для представлення чисел в комп'ютерах.

Для представлення будь-якого десяткового числа довжиною, напри­клад використовують цифророзрядів. У двійковій системі для представлення того ж числа (з врахуванням співвідношен­ня ) потрібно мати цифрових розрядів.

Найбільш економічною є система з основою q= 2.73 ... ≈ 3. Двійкова система економічно поступається трійковій на 5,8%, проте має надійніші фі­зичні елементи. Крім того, для запам'ятовування цифр трійкової системи 0, 1, 2використовують два двійкових фізичних елементи. Із цього виходить, що найефективнішою є двійкова система числення.

3. Трудомісткість і швидкодіявиконання арифметичних операцій. Чим менша основа q, тим менше цифр бере участь в обчисленні даних і тим вища швидкодія комп'ютера. Наприклад, швидкодія машини в двійковій системі перевищує швидкодію в трійковій на 26,2%. а в десятковій — у 2,7 раза.

4. Наявність формального математичного апарату для аналізу і синтезу циф­рових схем. Таким апаратом для двійкових елементів є булева алгебра.

Таким чином, з перерахованих показників видно, що найприйнятнішою для застосування в комп'ютерах є однорідна позиційна двійкова система числення. Двійко-системи числення використовують у великих і середніх комп'ютерах, призначених розв'язання науково-технічних задач з великим об'ємом обчислень і порівняно малою кількістю початкових даних.

Двійково-десяткову систему застосовують для розв'язання економічних задач, характеризуються великим об'ємом вхідних і вихідних даних порівняно з малим об’ємом розрахунків.

Двійково-десяткова система має такі достоїнства:

· не потрібне переведення початкових даних з однієї системи в іншу;

· зручність контролю результатів зображенням їх на екрані дисплея;

· зручність автоматичного контролю через наявність надлишкових кодів у зо­браженні цифр 1010, 1011,…,1111