Основні означення і властивості неперервних величин.

8.1.1. Інтегральна функція розподілу.Неперервною називається випадкова величина (НВВ), яка може приймати всі значення з деякого скінченного або нескінченного проміжку. Вочевидь, що кількість її можливих значень нескінченна і задати її за допомогою ряду розподілу неможливо.

Нехай X — неперервна випадкова величина, а х — деяке дійсне число. Інтегральною функцією розподілу називається функція Р(х), яка визначає для кожного значення х ймовірність того, що випадкова величина X прийме значення менше від х, тобто

F(x)=P(X<x) (8.1)

Тепер можна дати більш точне визначення неперервної випадкової величини: випадкову величину називають неперервною, якщо її інтегральна функція розподілу Р(х) неперервно диференційовна.

Властивості інтегральної функції розподілу

1. Значення інтегральної функції розподілу належать відрізку [0; 1]: 0£F(х)£1.

2. F(х) — неспадна функція, тобто F(х₂)³F(х₁), якщо x₂>x₁.

3. . Ймовірність того, що випадкова величина прийме значення, яке належить інтервалу [а, Ь], дорівнює приросту інтегральної функції на цьому інтервалі:

Р(а£Х£Ь} =F(b)-F(а).

Ймовірність того, що випадкова величина X прийме одне конкретне значення, дорівнює нулю.

4. Якщо можливі значення випадкової величини належать інтервалу (а, b), то

1) F(x) = 0 при х£а;

2) F(х) = 1 при х³b.

1.2. Диференціальна функція розподілу.Диференціальною функцією розподілу, або щільністю ймовірності називається перша похідна від інтегральної функції:

f(x)=F¢(х). (8.2)

Знаючи диференціальну функцію f(х), можна знайти інтегральну функцію F(х) за формулою

(8.3)

Властивості диференціальної функції розподілу

1. Диференціальна функція невід'ємна:

f(х)³0.

2. Інтеграл від диференціальної функції в межах від -¥ до +¥ дорівнює одиниці (умова нормування):

(8.4)

3. Ймовірність того, що випадкова величина прийме значення з інтервалу [а, Ь] дорівнює

Р(а£Х£b)=F(b)-F(а)= (8.5)

Лекція 9. Числові характеристики неперервних випадкових величин.

Математичне сподівання неперервної випадкової величини X, яка має щільність ймовірностей f(x), визначається формулою.

М(х)= (8.6)

за умови, що такий невласний інтеграл збіжний. Якщо інтеграл розбіжний, то математичне сподівання не визначене. Дисперсією неперервної випадкової величини X називається число

D(Х)=М(Х-М(Х))²= (8.7)

за умови, що невласний інтеграл збіжний. Зокрема, має місце формула

D(Х)=M(X²)-(M(X))². (8.8)

Середнє квадратичне відхилення

(8.9)

Властивості цих характеристик такі ж, як і для дискретних випадкових величин.