Уравнение плоскости в пространстве

Общее уравнение плоскости: ,

где A, B, C – координаты вектора нормали вектора (любого вектора, перпендикулярного данной плоскости), D – свободный член уравнения.

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору :

. (48)

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

:

. (49)

Угол между двумя плоскостями, заданными уравнениями и определяется как угол между векторами их нормалей и или дополнительный к нему (обычно берется острый угол), то есть

. (50)

Уравнения прямой в пространстве

Параметрические уравнения прямой l в пространстве:

(51)

где – фиксированная точка прямой; – направляющий вектор прямой l, т. е. любой вектор, параллельный l; t – числовой параметр.

Каждому значению параметра соответствует единственная точка прямой l.

Канонические уравнения прямой:

. (52)

Уравнения прямой, проходящей через две данные точки
и :

. (53)

Углом между прямыми называют угол между их направляющими векторами = {m₁; n₁; p₁} и = {m₂; n₂; p₂}, или дополнительный к нему (обычно берется острый угол), т. е.

. (54)

Углом между плоскостью и прямой l (в случае их пересечения) называется угол между прямой и её проекцией на плоскость. Синус угла между плоскостью и прямой определяется по формуле:

. (55)

Примерный вариант и образец выполнения
контрольной работы № 2

Задача 1. Даны многочлен f(x) и матрица А:

Требуется найти значение матричного многочлена f (A).

Задача 2. Дана система трех линейных алгебраических уравнений
с тремя неизвестными:

Требуется:

1) записать систему в матричном виде;

2) найти решение системы с помощью формул Крамера;

3) решить систему при помощи обратной матрицы.

Задача 3. Даны координаты трех векторов: и вектор :

, .

Требуется:

1) вычислить модуль вектора ;

2) найти координаты вектора ;

3) найти угол φ между векторами и ;

4) вычислить проекцию вектора на направление вектора ;

5) вычислить площадь треугольника, построенного на векторах и ;

6) вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах .

Задача 4. Даны координаты точек – вершин пирамиды ABCD:

Требуется:

1) вычислить длину ребра AB;

2) найти уравнение плоскости грани ABC;

3) найти угол между гранями ABC и BCD;

4) составить параметрические уравнения прямой AB;

5) составить канонические уравнения высоты пирамиды DK, проведенной из вершины D;

6) найти координаты точки пересечения DK и грани ABC;

7) найти угол между ребрами AB и BC;

8) найти угол между ребром AD и гранью ABC;

9) сделать чертеж пирамиды в системе координат.

Решение задачи 1

Записываем матричный многочлен: Здесь Е – единичная матрица той же размерности, что и А, т. е. 3-го порядка.

Найдем матрицу A². При умножении матрицы A на себя используем правило "строка на столбец" (формула (23)):

A² = A·A =

Найдем матрицу 2Е, используя правило умножения матрицы на число (формула (21)):

E =

Теперь найдем значение матричного многочлена f(A),используя правило умножения матрицы на число и правило сложения матриц (формула (22)):

Ответ:

Решение задачи 2

1) Запишем систему в матричном виде:

, или AX = B,

где

(Во втором уравнении системы отсутствует неизвестная х₃, т. е. а₂₃ = 0).

2) Решим систему с помощью формул Крамера. Для этого по формулам (29) составляем главный определитель системы из коэффициентов при неизвестных в левых частях уравнений и три вспомогательных определителя:

Вычислим эти определители, используя формулу (25):

Так как ∆ ≠ 0, то данная система имеет единственное решение.

Найдем решение системы по формулам Крамера (30):

3) Решим систему при помощи обратной матрицы.

a) Определитель следовательно, обратная матрица существует.

б) Чтобы найти союзную матрицу к матрице А, необходимо вычислить по формулам (26) алгебраические дополнения всех ее элементов:

Здесь определители 2-го порядка вычислены по формуле (24).

Тогда союзная матрица (см. формулу (31)):

в) Найдем обратную матрицу по формуле (32):

г) Получим решение системы при помощи обратной матрицы по формуле (33) (правило "строка на столбец"):

.

Решение, полученное матричным способом, совпадает с тем, которое получено по формулам Крамера, что подтверждает правильность этого решения.

Ответы:

1) система в матричном виде: AX = B, где

;

2) решение системы, полученное с помощью формул Крамера:

;

3) решение системы, полученное при помощи обратной матрицы:

.

Решение задачи 3

1) Модуль вектора вычисляется по формуле (35):

.

2) Чтобы найти координаты вектора , используем формулы (38) и (39):

тогда

3) Косинус угла между векторами и найдем по формуле (41):

.

Для этого вычислим скалярное произведение и по формуле (40): = –2∙0 + 2∙(–3) + (–1)∙4 = –10, затем модуль вектора :

, тогда
и

4) Проекцию вектора на направление вычислим по формуле (42):

5) Площадь треугольника, построенного на векторах и найдем по формуле (44). Для этого сначала находим векторное произведение этих векторов по формуле (43):

Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах и :

(кв. ед.).

6) Для вычисления объема параллелепипеда, построенного на векторах находим смешанное произведение векторов по формуле (45):

тогда объема параллелепипеда по формуле (47): .

Ответы:

1) модуль вектора :

2) координаты вектора :

3) угол между векторами и :

4) проекция вектора на направление вектора :

5) площадь треугольника, построенного на векторах и : (кв. ед.);

6) объем параллелепипеда, построенного на векторах :
(куб. ед.).

Решение задачи 4

1) Длину ребра найдем по формуле (36):

2) Чтобы получить уравнение плоскости грани ABC, необходимо найти вектор, перпендикулярный плоскости ABC, т. е. вектор, перпендикулярный векторам и . Одним из таких векторов является векторное произведение на . Для того, чтобы найти его, сначала вычислим координаты векторов по формуле (37):

= {–3–(–2); 2–1; –1–1} = {–1; 1; –2},

= {7; –3; –3}.

Векторное произведение и найдем по формуле (43):

В качестве вектора нормали к плоскости ABC можно взять любой вектор, коллинеарный полученному, например, = {9; 17; 4}. Используем уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору (формула (48): – уравнение плоскости грани ABC.

3) Прежде, чем найти угол между гранями ABC и BCD, получим уравнение грани BCD, используя уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки (формула (49):

– уравнение грани BCD.

Из уравнения плоскости BCD возьмем координаты вектора нормали , перпендикулярного этой плоскости: ={3; 7; –4}.

Косинус угла между плоскостями (гранями) ABC и BCD найдем
по формуле(50):

Отсюда .

4) Уравнения ребра AB можно записать как параметрические уравнения прямой, проходящей через точку A(–2; 1; 1) и имеющей направляющий вектор = {–1; 1; –2} (формулы (51)):

– параметрические уравнения AB.

Другой способ: можно использовать уравнения прямой, проходящей через две точки (формулы (53)):

откуда, обозначив каждую из дробей t, получаем:

– параметрические уравнения AB.

5) Высота пирамиды DK – это прямая, проведенная из вершины D перпендикулярно грани ABC. Она имеет направляющий вектор , коллинеарный вектору нормали плоскости ABC. Можно взять, например, = = {9; 17; 4}. Запишем канонические уравнения высоты DK, используя точку D(–1; 0; –3)
и вектор = {9; 17; 4} (формулы (52)):

– канонические уравнения DK.

6) Прежде, чем найти точку пересечения DK и грани ABC, получим параметрические уравнения прямой DK. Обозначив каждую из дробей
в канонических уравнениях буквой t, получаем:

– параметрические уравнения DK.

Точка пересечения DK и грани ABC (точка К) лежит на прямой, а значит, имеет координаты , и принадлежит плоскости, т. е. ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости ABC. Поэтому координаты точки K найдем, решив систему:

Решим последнее уравнение относительно t:

Вычислим координаты точки K, подставив найденное значение параметра в первые три уравнения системы:

Итак, точка пересечения DK и грани ABC: .

7) Угол между ребрами AB и BC найдем, как угол между на-
правляющими векторами прямых AB и BC: = {–1; 1; –2}
и = {8; –4; –1}. Найдем косинус угла
по формуле(54):

Тогда угол между ребрами AB и BC:

8) Чтобы определить угол между ребром AD и гранью ABC, найдем направляющий вектор прямой: = {1; –1; –4}. Плоскость ABC имеет вектор нормали = {9; 17; 4}. Синус угла между прямой и плоскостью ABC можно вычислить по формуле (55):

Тогда угол между ребром AD и гранью ABC:

9) Выполним чертеж пирамиды в системе координат (рис. 19).

Ответы:

1)

2) АВС:

3) ;

4)

5) DK: ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) чертеж пирамиды на рис. 19.

Варианты контрольнЫХ работ

Каждый вариант контрольной работы № 1 для студентов-заочников
1 курса всех специальностей содержит 5 задач, охватывающих материал по теме "Аналитическая геометрия на плоскости". Каждый вариант контрольной работы № 2 содержит 4 задачи по темам "Элементы линейной алгебры. Аналитическая геометрия в пространстве".

Перед выполнением каждой контрольной работы студенту необходимо изучить теоретический материал по данной теме и закрепить его решением рекомендованных задач в соответствии с методическими указаниями, затем ознакомиться со справочным материалом и образцом выполнения примерного варианта контрольной работы.

Задания для всех вариантов общие; студенту следует выбрать из условия каждой задачи данные, необходимые для ее решения, в соответствии со своим вариантом. Оформление контрольных работ должно соответствовать установленным правилам и требованиям. Необходимые чертежи должны выполняться четко, с соответствующими подписями и комментариями (см. образец выполнения примерного варианта работы).

Варианты контрольной работы № 1

Задача 1. Даны координаты вершин треугольника АВС.

Номер варианта	Координаты точек	Номер варианта	Координаты точек
	А(–2; –3), В(2; 7), С(6; –1)		А(3; –3), В(–4; 1), С(–2; 5)
	А(–5; 1), В(6; 3), С(–4; –7)		А(3; 5), В(–2; 2), С(2; –4)
	А(4; 5), В(–3; 2), С(5; –4)		А(–2; 4), В(5; 6), С(3; –4)
	А(7; –7), В(1; 2), С(–5; –4)		А(3; 7), В(–4; 1), С(–2; –5)
	А(–3; 4), В(4; 5), С(8; –3)		А(4; 3), В(–3; –2), С(–7; 2)

Требуется:

1) вычислить длину стороны ВС;

2) составить уравнение стороны ВС;

3) найти внутренний угол треугольника при вершине В;

4) составить уравнение высоты АК, проведенной из вершины А;

5) найти координаты центра тяжести однородного треугольника (точки пересечения его медиан);

6) сделать чертеж в системе координат.

Задача 2. Даны координаты точки А, уравнение прямой l и число λ.

Номер варианта	Координаты точки	Уравнение прямой l	Число λ	Номер варианта	Координаты точки	Уравнение прямой l	Число λ
	А(–1; 0)	y + 2 = 0	1 : 1		А(–5; 1)	x + 1 = 0	1: 1
	А(3; 1)	3x = 16	3 : 4		А(5; –4)	5x = 1	5 : 1
	А(3; 0)	x = 0	2 : 1		А(1; 0)	2x = 7	2 : 3
	А(2; 0)	4x = 1	4 : 3		А(1; 2)	x = 4	1 : 2
	А(0; 0)	2x + 5 = 0	2 : 3		А(3; 2)	3x = 1	3 : 1

Найти уравнение траектории точки М, которая движется в плоскости так, что отношение ее расстояний до точки А и до прямой l равно λ. Сделать чертеж в системе координат.

Задача 3. Дано уравнение кривой 2-го порядка.

Номер варианта	Уравнение кривой	Номер варианта	Уравнение кривой
	7x2 – 9y2 + 42x+ 18y – 9 = 0		9x2 + 4y2 – 54x + 8y + 49 = 0
	x2 + 2x – 12y + 37 = 0		x2 – 10x + 4y + 17 = 0
	5x2 + 9y2 + 10x – 54y + 41 = 0		3x2 – y2 – 30x – 2y + 62 = 0
	y2 + 6x + 6y – 3 = 0		y2 – 8x – 4y – 4 = 0
	5x2 – 4y2 – 20x – 24y – 36 = 0		7x2 + 16y2 – 56x + 64y + 64 = 0

Привести заданное уравнение к каноническому виду путем параллельного переноса осей координат. Определить тип кривой, найти ее характерные элементы в исходной системе координат. Изобразить на чертеже расположение кривой относительно обеих систем координат.

Задача 4. Даны уравнение кривой 2-го порядка и уравнение прямой.

Номер варианта	Уравнение кривой	Уравнение прямой
	x2 + 2y2 – 2x + 8y + 3 = 0	x + 2y + 3 = 0
	x2 – 2y2 + 4x + 4y – 6 = 0	x + 2y = 0
	x2 + 6x – 16y + 25 = 0	x – 4y + 15 = 0
	x2 + 4y2 – 6x + 8y + 5 = 0	x – 2y – 5 = 0
	y2 – 4x – 6y – 15 = 0	2x + y – 3 = 0
	x2 – 5y2 + 10x + 20y – 15 = 0	x – 5y + 15 = 0
	x2 + 4y2 + 2x – 32y + 45 = 0	x – y + 5 = 0
	x2 – 4x + 8y + 44 = 0	x – 2y – 20 = 0
	2x2 – y2 – 16x – 6y + 19 = 0	x – y – 7 = 0
	y2 + 10x + 8y – 34 = 0	2x + y + 4 = 0

Требуется:

1) привести заданное уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду;

2) найти точки пересечения кривой и заданной прямой;

3) построить обе линии в исходной системе координат.

Задача 5. Дано уравнение кривой в полярной системе координат (ПСК).

Номер варианта	Уравнение кривой	Номер варианта	Уравнение кривой

Требуется:

1) найти область определения функции ;

2) построить кривую в ПСК, вычислив значения функции в точках , принадлежащих области определения функции ;

3) найти уравнение заданной кривой в декартовой системе координат (ДСК), начало координат в которой совпадает с полюсом ПСК, а положительная полуось ОХ – с полярной осью ОР;

4) определить тип кривой.

Варианты контрольной работы № 2

Задача 1. Даны многочлен f(x) и матрица А.

Номер варианта	Многочлен f(x)	Матрица А

Окончание таблицы

Номер варианта	Многочлен f(x)	Матрица А

Требуется найти значение матричного многочлена .

Задача 2. Дана система трех линейных алгебраических уравнений
с тремя неизвестными.

Номер варианта	Система уравнений	Номер варианта	Система уравнений

Требуется:

1) записать систему в матричном виде;

2) найти решение системы с помощью формул Крамера;

3) решить систему при помощи обратной матрицы.

Задача 3. Даны координаты трех векторов и вектор .

Номер варианта	Векторы	Вектор

Окончание таблицы

Номер варианта	Векторы	Вектор

Требуется:

1) вычислить модуль вектора ;

2) найти координаты вектора ;

3) найти угол φ между векторами и ;

4) вычислить проекцию вектора на направление вектора ;

5) вычислить площадь треугольника, построенного на векторах и ;

6) вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах .

Задача 4. Даны координаты точек – вершин пирамиды ABCD.

Номер варианта	Координаты точек
	А(1; 2; –1), В(0; 0; 1), С(1; –3; 3), D(2; –1; –1)
	А(7; 2; 4), В(7; –1; –2), С(3; 3; 1), D(4; 2; 1)
	А(1; 3; 6), В(2; 2; 1), С(–1; 0; 1), D(–4; 6; –3)
	А(–2; 0; –4), В(–1; 7; 1), С(4; –8; –4), D(1; –4; 6)
	А(1; 2; 0), В(3; 0; –1), С(5; –2; 3), D(3; 2; –1)
	А(–1; 1; 2), В(2; 1; –2), С(–2; 0; 4), D(2; –1; 2)
	А(4; 2; 5), В(2; –3; 0), С(–10; 5; 8), D(–5; 2; 4)
	А(2; –1; 1), В(–1; –3; 2), С(–2; 3; 1), D(–1; 2; –3)
	А(–1; 1; 2), В(–2; 0; 3), С(3; 6; –3), D(–1; –2; 7)
	А(4; –1; 3), В(–2; 1; 0), С(0; –5; 1), D(–2; 1; –1)

Требуется:

1) вычислить длину ребра AB;

2) найти уравнение плоскости грани ABC;

3) найти угол между гранями ABC и BCD;

4) составить параметрические уравнения прямой AB;

5) составить канонические уравнения высоты пирамиды DK, проведенной из вершины D;

6) найти координаты точки пересечения DK и грани ABC;

7) найти угол между ребрами AB и BC;

8) найти угол между ребром AD и гранью ABC;

9) сделать чертеж пирамиды в системе координат.

Рекомендуемая литература

1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1 / Д.Т. Письменный. – М. : Айрис-пресс, 2003. – 288 с.

2. Щипачев, В.С. Высшая математика : учебник для вузов / В.С. Щипачев.– М. : Высш. шк., 1998. – 479 с.

3. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1
/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М. : Высш. шк., 1999. – 304 с.

4. Щипачев, В.С. Задачник по высшей математике / В.С. Щипачев. – М. : Высш. шк., 2001. – 304 с.

Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции

ОК 005-93, т. 2; 95 3004 – воспитательная, образовательная и педагогическая литература

Издательство МГТУ. 183010 Мурманск, Спортивная, 13.

Сдано в набор 14.09.2007. Подписано в печать 18.09.2007. Формат 60´84¹/₁₆.
Бум. типографская. Усл. печ. л. 2,79. Уч.-изд. л. 2,18. Заказ 443. Тираж 300 экз.