Розв’язання завдань з теми «Диференціальні рівняння та системи».

Завдання 1.

а) Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

.

Розв’язання. Подане рівняння – це диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними. Поділимо обидві його частини на добуток :

.

Одержимо рівняння

,

яке проінтегруємо

.

Знайдемо окремо кожний інтеграл:

1) ;

2) .

Отже, маємо

,

.

Праву частину отриманого виразу зручно подати як натуральний логарифм сталої , тобто .

Таким чином,

або

,

звідки

,

а - це загальний розв’язок заданого рівняння.

Відповідь. .

б) Знайти загальний розв’язок або загальний інтеграл диференціального рівняння

.

Розв’язання. Перепишемо задане рівняння у вигляді

і помножимо його на :

.

В отриманому рівнянні відокремимо змінні. Для цього поділимо обидві частини на :

.

Одержимо

.

Тепер проінтегруємо:

.

Знайдемо кожний інтеграл окремо:

1)

;

2) .

Остаточно маємо:

або , де , , і

Отримали загальний інтеграл заданого диференціального рівняння.

Відповідь. , .

Завдання 2.

Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння

.

Розв’язання. Перетворимо задане рівняння

;

.

Отримали рівняння вигляду . Це означає, що задане диференціальне рівняння однорідне (нелінійне). Рзвя’жемо його за допомогою підстановки . Тоді , .

Отже, маємо

,

,

.

В отриманому рівнянні відокремимо змінні

і проінтегруємо

.

Знайдемо окремо кожний інтеграл:

1)

, ;

2) , .

Таким чином,

,

, де ,

,

, .

- загальний інтеграл заданого рівняння.

Відповідь. .

Завдання 3.

Знайти розв’язок задачі Коші для диференціального рівняння першого порядку

, .

Розв’язання. За умовою маємо лінійне рівняння вигляду , де , . Розв’яжемо його за допомогою підстановки , де , - невідомі функції змінної , причому одна з них довільна. Похідна цієї функції дорівнює . Підставимо цей вираз і вираз у задане рівняння:

,

.

Знайдемо функцію такою, щоб

, тоді .

Розв’яжемо ці два рівняння.

1) . Перепишемо його у вигляді і відокремимо у ньому змінні:

.

Проінтегруємо це рівняння

,

і одержуємо . Довільну сталу ми опустили, оскільки досить отримати частинний розв’язок рівняння .

Підставимо тепер вираз у рівняння і розв’яжемо його:

2) , .

Це рівняння також є рівнянням з відокремлюваними змінними:

,

,

.

Підставимо знайдені вирази і у формулу . Отримаємо загальний розв’язок заданого диференціального рівняння

.

Виділимо з цього розв’язку частинний, що задовольняє початкову умову , тобто розв’яжемо задачу Коші:

,

.

Таким чином, розв’язок задачі Коші

.

Відповідь. .

Завдання 4.

Знайти загальний розв’язок або загальний інтеграл диференціального рівняння

.

Розв’язання. Задане рівняння не містить явно змінну , тобто це рівняння вигляду . Покладемо в ньому , тоді . Отримаємо диференціальне рівняння першого порядку

або

.

Звідки або .

Якщо , то . Ця функція є розв’язком заданого рівняння, оскільки перетворює його на тотожність ( , ).

Розв’яжемо рівняння , яке є рівнянням з відокремлюваними змінними:

,

,

, ,

,

,

,

.

Виконуючи обернену заміну , отримаємо рівняння

,

в якому відокремимо змінні та проінтегруємо :

,

,

,

,

,

або .

Отримали загальний розв’язок даного рівняння.

Відповідь. , .

Завдання 5.

Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

.

Розв’язання. Задане диференціальне рівняння неоднорідне другого порядку зі сталими коефіцієнтами і правою частиною спеціального вигляду. Йому відповідає однорідне рівняння

.

Його характеристичне рівняння

має корені: , ( ).

Оскільки корені характеристичного рівняння комплексні, то загальний розв’язок однорідного рівняння матиме вигляд

,

тобто

.

Частинний розв’язок неоднорідного рівняння будемо шукати в залежності від вигляду правої частини даного рівняння, тобто

,

де , оскільки серед коренів характеристичного рівняння нема рівних нулю.

.

Знайдемо і :

, .

Підставимо і у дане рівняння:

,

.

Порівняємо коефіцієнти при однакових степенях :

; , .

Підставимо знайдені значення коефіцієнтів у формулу частинного розв’язку:

.

Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння має вигляд

,

а заданого рівняння

.

Відповідь. .

Завдання 6.

Знайти загальний розв’язок системи лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами

методом характеристичного рівняння.

Розв’язання. Для заданої системи лінійних диференціальних рівнянь запишемо характеристичне рівняння

і розв’яжемо його

,

,

,

, .

Частинні розв’язки системи будемо шукати у вигляді:

, ; , .

Щоб знайти і , складемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь

.

При маємо систему

.

Система має нескінченну множину розв’язків. Знайдемо один з них. Нехай , тоді , і частинні розв’язки системи будуть:

, .

При маємо систему

.

В цьому випадку покладемо , тоді , і частинні розв’язки матимуть вигляд

, .

Загальний розв’язок системи знайдемо за формулою

.

Отже, маємо

.

Відповідь. .

Завдання 7.

Розв’язати методом виключення невідомих систему диференціальних рівнянь, що задовольняють нульовим початковим умовам

.

Розв’язання. Продиференціюємо перше рівняння системи

,

в яке замість підставимо вираз для нього з другого рівняння заданої системи:

.

В цьому рівнянні замінимо виразом, який знайдемо з першого рівняння системи:

. (1)

Отримаємо

або

. (2)

Це диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Відповідне однорідне рівняння має вигляд

. (3)

Його характеристичне рівняння

має корені , - дійсні та різні. Отже, загальний розв’язок однорідного рівняння (3) має вигляд

. (4)

Частинний розв’язок неоднорідного рівняння (2) будемо шукати у відповідності з правою частиною цього рівняння у вигляді

. (5)

Знайдемо першу та другу похідні функції :

, (6)

. (7)

Підставимо в рівняння (2) замість , , відповідні вирази з формул (5), (6), (7):

або

.

Порівнюючи коефіцієнти при і , дістанемо систему рівнянь:

,

з якої , .

Таким чином, частинний розв’язок неоднорідного рівняння (2) такий

,

а загальний розв’язок має вигляд

. (8)

Знайдемо :

.

Підставимо вирази для і у формулу (1):

(9)

Таким чином, маємо загальний розв’язок заданої системи:

Тепер розв’яжемо задачу Коші, використовуючи знайдені розв’язки і нульові початкові умови. Побудуємо систему рівнянь:

або

.

Підставляємо знайдені значення довільних сталих в рівності (8) і (9) і одержуємо розв’язок задачі Коші у вигляді:

.

Відповідь. .