Парная регрессия и корреляция

Данный раздел методических указаний предполагает приобретение студентами опыта построения на экспериментальных данных моделей, выбора метода оценки параметров модели, получение прогнозных оценок.

Парная регрессия– уравнение связи двух переменных у и х:

Парная регрессия и корреляция - student2.ru ,

где у – зависимая переменная (результативный признак);

х – независимая, объясняющая переменная (признак–фактор).

Различают линейные и нелинейные регрессии.

Нелинейные регрессииделятся на два класса: регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным:

– полиномы различных степеней Парная регрессия и корреляция - student2.ru ;

– равносторонняя гипербола Парная регрессия и корреляция - student2.ru

Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:

– степенная Парная регрессия и корреляция - student2.ru ;

– показательная Парная регрессия и корреляция - student2.ru ;

– экспоненциальная Парная регрессия и корреляция - student2.ru .

Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессии, линейные по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака yот теоретических Парная регрессия и корреляция - student2.ru минимальна, т.е.

Парная регрессия и корреляция - student2.ru

Для линейных и нелинейных уравнений, проводимых к линейным, решается система относительно а и b:

Парная регрессия и корреляция - student2.ru

Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой системы:

Парная регрессия и корреляция - student2.ru

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейные коэффициенты парной корреляции rxyдля линейной регрессии Парная регрессия и корреляция - student2.ru :

Парная регрессия и корреляция - student2.ru

и индекс корреляции рху– для нелинейной регрессии Парная регрессия и корреляция - student2.ru :

Парная регрессия и корреляция - student2.ru

Оценку качества построенной модели даст коэффициент (индекс) детерминации, а также средняя ошибка аппроксимации.

Средняя ошибка аппроксимации – среднее отклонение расчетных значений от фактических:

Парная регрессия и корреляция - student2.ru

Допустимый предел значений Парная регрессия и корреляция - student2.ru – не более 8 – 10%.

Средний коэффициент эластичности Парная регрессия и корреляция - student2.ru показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора х на 1% :

Парная регрессия и корреляция - student2.ru

Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака у характеризует коэффициент (индекс) детерминации R2:

Парная регрессия и корреляция - student2.ru

Коэффициент детерминации – квадрат коэффициента или индекса корреляции.

F – текст – оценивание качества уравнения регрессии – состоит в проверке гипотезы Н0 о статической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического Fфакт и критического (табличного) Fтабл значений F – критерия Фишера. Fфактопределяется по формуле:

Парная регрессия и корреляция - student2.ru

где n – число единиц совокупности;

m – число параметров при переменных х;

к– число параметров в уравнении.

Fтабл – это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости a –вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна.

Обычно a принимается равной 0,05 или 0,01.

Если Fтабл<Fфакт, то Н0 – гипотеза о случайно природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если Fтабл>Fфакт, то гипотеза Н0 не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

Наши рекомендации