В. 5. Производные основных элементарных функций

С учётом полученного правила дифференцирования сложной функции таблицу производных можно записать в следующем виде:

Таблица производных

Функция у Производная у’
С
x
un n∙un-1 u’
В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru
В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru
eu eu∙u’
au au∙ln a∙u’
ln u В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru
loga u В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru
sin u cos u∙u’
cos u – sin u∙u’
tg u В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru
ctg u В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru
arcsin u В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru
arcos u В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru
arctg u В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru
arcctg u В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru

Пример 1. Найти производную функции:

а) у = х + 2; б) y = (2x – 3)(3x + 2); в) у = В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru ; г) у = В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru ; д) у =(x3 – 2x2 + 5)6; е) В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru ; ж) В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru ; з) y = tg(3x2 – 1); и) В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru .

Решение. а) у = х + 2

Используя правило дифференцирования (3) и формулы (1), (2), имеем:

у' = (x + 2)’ = (x)’ + (2)’ = 1 + 0 = 1.

б). y = (2x – 3)(3x + 2)

y’ = ((2x – 3)(3x + 2))’ = (2x – 3)’∙(3x + 2) + (2x – 3)∙(3x + 2)’ = 2∙(3x + 2) + (2x – 3)∙3 = 12x – 5. Здесь мы использовали правило дифференцирования (5).

в) у = В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru

Используя правило дифференцирования (7), имеем

у’ = В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru = В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru .

г) у = В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru

Найдем производную, используя правило дифференцирования (4) и формулу (3).

у' = В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru .

д) у =(x3 – 2x2 + 5)6

Пусть x3 – 2x2 + 5 = и, тогда у = и6. По формуле (3), получим у’ = (и6)’ = 6u5∙u’= 6(x3 – 2x2 + 5)5∙(x3 – 2x2 + 5)’ = 6(x3 – 2x2 + 5)5∙(3x2 – 4x).

е) В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru

По правилу дифференцирования (7) и формуле (10) получим:

В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru

= В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru .

ж) В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru

Используя формулы (4) и (10), имеем:

В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru .

з) y = tg(3x2 – 1).

По формуле (12) имеем:

y' = (tg(3x2 – 1))’ = В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru .

и) В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru .

По формуле (8), а также (3), (4), (5) имеем:

В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru =

= В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru .

В. 6. Производная степенно-показательной функции

Производная степенно-показательной функции В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru :

В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru

Т.е. для того чтобы найти производную степенно-показательной функции, нужно сначала продифференцировать её как степенную (формула (3)), затем как показательную (формула (7)) и полученные результаты сложить.

Пример 2.Вычислить производную функции В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru .

Решение. В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru .

В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru Производная неявной функции F(x,y)=0 получается дифференцированием обеих частей уравнения, рассматривая y как функцию от x , а затем из полученного уравнения находится y`.

Пример 3.Найти производную от неявной функции x2 +3xy + y2 + 1 =0 и вычислить y` в точке (2; -1).

Решение. Дифференцируя по x, получаем: В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru отсюда

В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru . Подставим x =2 , y = -1, получим В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru .

В.7. Производные высших порядков

Производная В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru называется производной 1-го порядка. Однако производная сама является функцией, которая также может иметь производную.

Производная n-го порядка называется производная от производной (n-1)-го порядка:

В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru .

Обозначается : В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru и т.д.

Механический смысл 2-й производной: 2-ая производная пути по времени В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru равна ускорению точки в момент t0.

В.9. Приложения производной

Правило Лопиталя

Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.

Другими словами, если имеется неопределенность В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru или В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru , то

В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru

Пример 4. Найти предел, используя правило Лопиталя: В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru .

Решение. Имеем неопределенность вида В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru . Применяя правило Лопиталя, получим:

В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru = В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru . Неопределенность вида В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru по-прежнему сохраняется. Применим правило еще раз: В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru = В. 5. Производные основных элементарных функций - student2.ru .

Ответ: 1.

Наши рекомендации