Определение принадлежности точек заданным поверхностям

А) плоские кривые

Локальные свойства кривой характеризуются касательной и нормалью.

Касательной называют предельное положение секущей t (t ^/, t ^//, . . .) когда точка М₂ стремится к точке М. Нормаль – это прямая перпендикулярная касательной в данной точке (n t).

А) пространственные кривые

Локальные свойства пространственной

Σ

Δ

кривой характеризуются:

Σ – соприкасающейся плоскостью.

b

M1

t

M2

q

Σ – предельное положение некоторой плоскости определяемой точками M₁, M, M₂ , когда точки M₁ и М₂ стремятся к точке М (M₁→M и М₂→М).

Δ – нормальной плоскостью (перпендикулярная касательной t).

θ – спрямляющаяся плоскость.

Нормальная плоскость Δ перпендикулярна касательной t Δ .

Спрямляющаяся θ плоскость проходит через касательную t, и перпендикулярна соприкасающейся плоскости θ É t,

Дифференциальные свойства пространственных кривых характеризуют:

n – нормаль кривой ;

t – касательная ;

b – бинормаль ;

Задача №1

На комплексном чертеже заданы фронтальная и горизонтальные проекции кривой f. Определить какой является кривая, плоской или пространственной.

План решения:

1. Строим прямые AC и BD пересекающие заданную кривую f.

2. Строим точки пересечения (K₁ и K₂) проекций прямых AC и BD на фронтальной и горизонтальной проекциях.

3. Так как точки пересечения K₁ и K₂ не находятся на одной линии проекционной связи, то кривая a является пространственной.

Способы задания кривых поверхностей

Поверхность – это непрерывное двухпараметрическое множество точек.

1 Задание поверхности с помощью алгебраических уравнений

В этом способе задания поверхность рассматривается как геометрическое множество точек, координаты которых удовлетворяют определенно заданному алгебраическому уравнению. Например, точка A принадлежит поверхности сферы, если её координаты удовлетворяют алгебраическому уравнению:

.

2 Задание поверхности с помощью параметрических уравнений

Точка A определяется параметрическими уравнениями:

где u и v – текущие параметры.

3 Каркасно-кинематический способ

Поверхность представляется линейным каркасом, т.е. совокупностью линий, принадлежащих поверхности, имеющих единый закон образования и связанных определенной зависимостью.

Кривая l в качестве которой выступает эллипс принадлежит плоскости S ^ x , которая перемещается вдоль оси x.

Параметры малой и большой полуосей эллипса определяются функциями

, .

Уравнения поверхности

.

Пример задания поверхности линейным каркасом

Понятие об определителе поверхности

Определителем поверхности называется совокупность условий задающих поверхность в пространстве. Определитель поверхности состоит:

1) Из геометрической части.

2) Из алгоритмической части.

Поверхность считается заданной, если можно решить вопрос о принадлежности любой точки пространства заданной поверхности.

Геометрическая часть определителя – совокупность геометрических элементов необходимых для задания поверхности.

Алгоритмическая часть определителя – это совокупность операций (последовательности) по которым строятся образующие (элементы каркаса) поверхности.

l1

l1

m – Направляющая поверхности.

A1 /

11

m1

S1

m1

S1

l – Образующая поверхности.

S, m - геометрическая часть.

S Î l

l Ç m - алгоритмическая часть.

Классификация поверхностей

Поверхности вращения

Построение очерка поверхности вращения

меридиан

A/

A2

A1

Гиперболоид вращения

Определение принадлежности точек заданным поверхностям