Уравнение Шредингера и его назначение. Временное и амплитудное уравнения Шредингера
Кафедра
УТВЕРЖДАЮ
Заведующая кафедрой
. Е.Рябоконь
«»_________2013 г.
ЛЕКЦИЯ
по учебной дисциплине «Ф И З И К А»
Д-0302-1
Раздел № 5 Основы квантовой физики
Тема № 20 Элементы квантовой механики
Занятие № 83 Квантовая частица в потенциальной яме
| Обсуждено на заседании предметно-методической комиссии Протокол №______ от «_____»_______________2013г. |
Санкт-Петербург
I. Учебные цели
Познакомить с основным уравнением квантовой механики. Научить использовать уравнение Шредингера для расчета энергии частицы.
II. Воспитательные цели
Воспитывать диалектико-материалистическое мировоззрение; привычку к строгому логическому мышлению.
III. Расчет учебного времени
| Содержание и порядок проведения занятия | Время, мин |
| ВСТУПИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ Учебные вопросы 1. Уравнение Шредингера и его назначение. Временное и амплитудное уравнения Шредингера. 2. Решение уравнения Шредингера для стационарных состояний в случае прямоугольной потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками и выводы из него. Квантование энергии частицы 3. Графики волновых функций и плотности вероятности для микрочастицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ |
IV. Литература
1. Савельев И.В. «Курс общей физики», книга 5, М., Астрель АСТ, 2004 с. 85-90;
2. Исмагилов Р. Г. «Квантовая физика», часть 1, С-Пб, СПВВИУС, 1998 с. 65-76
3. Савельев, И. В.Курс общей физики. В 5 кн. Кн.5. Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твердого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц: учебное пособие для втузов Издательство: Астрель, АСТ, 2004 г.
4. Трофимова Т.И. Курс физики : учеб.пособие для студ. учреждений высш. проф. образования — 19-е изд., стер. — М. : Издательский центр «Академия», 2012. — 560 с.
5. Савельев И.В. Курс общей физики: в 4 т. — Т. 3. Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твердого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц: учебное пособие. — 2-е изд., стер. — М.: КНОРУС, 2012. — 368 с.
V. Учебно-материальное обеспечение
1. Конспект лекций курсантов
2. Ноутбук
3. Проектор
4. Компьютерные презентации
VI. Текст лекции
Введение
На предыдущем занятии было постулировано, что вся информация о движении квантовой частицы заключена в ее волновой функции. Теперь необходимо найти регулярный метод ее расчета.
Учебные вопросы.
Уравнение Шредингера и его назначение. Временное и амплитудное уравнения Шредингера
Свободной частице, как известно, соответствует волна де Бройля:
. (1)
Воспользуемся этим выражением, чтобы "вывести" уравнение для волновой функции. (Следующее далее рассуждение не может рассматриваться как вывод, но оно будет нам полезно).
Вычислим производную от волновой функции Y(r,t) по времени:
(2)
Полная энергия частицы E связана с импульсом p равенством
, (3)
где m – масса частицы. Потенциальную энергию P мы должны считать здесь постоянной величиной. В противном случае на частицу будет действовать сила, и ее импульс будет меняться. Такой частице уже не соответствует волновая функция (1).
Нетрудно заметить, что для волновой функции (1) справедливы равенства
(4)
Подставляя (3) в формулу (2) и пользуясь равенствами (4), получаем
или
, (5)
где использовано стандартное обозначение для оператора Лапласа.
Уравнение (5) называется уравнением Шредингера, получившего его в 1926 г. Рассуждения Э.Шредингера были несколько сложнее приведенных выше, но не более строги. Поэтому уравнение (5) может рассматриваться как независимый постулат квантовой механики.
Уравнение Шредингера позволяет найти волновую функцию Y(r,t) нерелятивистской квантовой частицы, движущейся под действием потенциальных сил. В общем случае потенциальная энергия есть функция координат и времени: П=П(r,t) и предложенный здесь "вывод" теряет силу. Тем не менее, он полезен, поскольку продемонстрировал тесную связь выражения для энергии частицы (3) с уравнением (5). Действительно, если энергия частицы не имеет вида (3), то ее движение не может быть описано уравнением Шредингера (5).
Простейшие примеры, в которых не применимо уравнение Шредингера (5):
фотон, E = pc, где c — скорость света;
релятивистский электрон .
Уравнение Шредингера должно быть модифицировано и в случае действия вихревых полей.
Теорема о решении уравнения Шредингера 1. Уравнение Шредингера (5) имеет единственное решение Y(r,t), удовлетворяющее граничному условию Y(r,t)®0 при и начальному условию Y(r,t)=Yo(r), если потенциальная энергия П(r,t) стремится к некоторому постоянному значению и волновая функция начального состояния Yo(r)®0 при .
2. Это решение непрерывно и имеет непрерывные производные по координатам, если этими свойствами обладает волновая функция начального состояния, а потенциальная энергия ограничена:úPú<¥ .
3. Если на некоторой поверхности потенциальная энергия имеет разрыв второго рода, то волновая функция Y(r,t) остается непрерывной, но ее производные по координатам могут иметь на этой поверхности разрыв.
4. Если волновая функция начального состояния Yo(r) удовлетворяет условию нормировки
,
то такому же условию удовлетворяет и решение уравнения Шредингера Y(r,t) в любой момент времени:
.
Сформулированная здесь теорема описывает математические свойства волновой функции. Все они тесно связаны с интерпретацией квадрата модуля волновой функции как плотности вероятности обнаружения частицы. Например, утверждение 4, которое можно назвать "свойством сохранения нормировки", говорит о том, что если вероятность обнаружения частицы во всем пространстве равнялась 1 при t=0, то при t>0 частица не исчезнет, то есть по-прежнему вероятность ее обнаружения во всем пространстве будет равна 1.
Согласно теореме, при определении волновой функции можно и нужно требовать выполнения следующих свойств:
1. однозначности решения;
2. непрерывности волновой функции;
3. непрерывности ее производных по координатам;
4. нормируемости.