Однополостной и двуполостной гиперболоиды

Определение. Однополостным и двуполостным гиперболоидами называются поверхности, имеющие канонические уравнения соответственно вида

F1: + = 1 (6) F2: + = –1. (7)

Исследуем их форму методом параллельных сечений. В сечениях плоскостями z = h получаем соответственно кривые

Однополостной и двуполостной гиперболоиды - student2.ru + = 1+ + = –1+ (*)

Обозначим соответственно

Однополостной и двуполостной гиперболоиды - student2.ru2 = a2(1+ ) , 2 = b2(1+ ) ; a¢2= a2½ –1+ ½, 2= b2½ –1+ ½,

h ¹ ± c

при любом h получаем эллипсы при ½ h ½> c получаем эллипсы

+ = 1

Однополостной и двуполостной гиперболоиды - student2.ru полуоси которых a¢ и b¢ неограни- полуоси которых a¢ и b¢ неогченно возрастают при возрас- раниченно возрастают при воз-

тании ½ h ½, и достигают минимумов растаснии ½ h ½ ; при ½ h ½< c

a и b при h = 0. получаем мнимые эллипсы

+ = –1 (Æ), а при h = ± c

(*) превращается в + = 0,

а это уравнение задает одну из

точек C1(0, 0, c) или C2(0, 0,– c).

В сечениях плоскостями y = h получаем соответственно кривые

Однополостной и двуполостной гиперболоиды - student2.ru = 1– (**) – = –1–

Обозначим соответственно

2 = a2½ 1– ½ , 2 = c2½ 1– ½ a¢2 = a2(1+ ) , 2 = c2(1+ ) .

и при h ¹ ± b получаем гиперболы, и при любом h получаем гиперболы

+ = ±1, – + = 1.

а при h = ± b (**) превращается в

уравнение – = 0, которое задает

пару пересекающихся прямых.

Аналогично, в сечениях F2 плоскостями y = h получаем только гиперболы, а в сечениях F1 – гиперболы или пары прямых при h = ± a.

Прочие геометрические свойства гиперболоидов.

1. Из уравнения (7) получаем, что ½ z½³ c, т.е. в пространственном слое z < c нет точек F2. Координатные оси Ox и Oy пересекают F1 в точках A1(a, 0, 0), A2(– a, 0, 0), B1(0,– b, 0), B2(0, b, 0), которые называются его вершинами. Ось Oz его не пересекает. Зато ось Oz пересекает F2 в точках C1(0, 0, c), C2(0, 0,– c), которые называются его вершинами. Оси Ox и Oy не пересекают F2.

2. Точно так же, как и для эллипсоида доказывается, что координатные оси являются осями симметрии гиперболоидов, координатные плоскости – плоскостями симметрии, а точка O – центром симметрии.

3.При a = b гиперболоиды будут поверхностями вращения, а при a = c гиперболы в сечениях плоскостями y = h будут равнобокими. При b = c равнобокими будут гиперболы в сечениях плоскостями x = h.

4.Пусть Fo – конус, заданный уравнением

Fo: + = 0.

Пусть Mo(x, y, zo Fo, M1(x, y, z1 F1, M2(x, y, z2 F2 – три точки с одинаковыми координатами x и y , лежащие на конусе и на гиперболоидах. Тогда

zo2= c2( + ), z 12= c2( + –1), z 22= c2( + +1) Þ

½ z 12½ <½ zo2½ <½ z 22½ , а значит, F1 лежит снаружи конуса Fo, а F2 – внутри. Кроме того, из тех же равенств следует zo2– z 12= z 22– zo2 = c2 Þ

Mo M1zo– z1½ = ® 0 и M2 Moz2– zo½ = ® 0 ,

когда точки Mo, M1, M2 уходят на бесконечность (необходимо при этом заметить, что zo, z1 и z2 все стремятся к бесконечности при x ® ¥ или y ® ¥). Значит, оба гиперболоида асимптотически приближаются к конусу.

           
  Однополостной и двуполостной гиперболоиды - student2.ru   Однополостной и двуполостной гиперболоиды - student2.ru
 
 
    Однополостной и двуполостной гиперболоиды - student2.ru

5.Мы уже видели, что в сечениях F1 плоскостями может получаться пара прямых. Примем без доказательства, что F1 является линейчатой поверхностью и через каждую его точку проходит пара прямых, лежащая на поверхности.

Наши рекомендации