Однополостной и двуполостной гиперболоиды

Определение. Однополостным и двуполостным гиперболоидами называются поверхности, имеющие канонические уравнения соответственно вида

F₁: + – = 1 (6) F₂: + – = –1. (7)

Исследуем их форму методом параллельных сечений. В сечениях плоскостями z = h получаем соответственно кривые

+ = 1+ + = –1+ (*)

Обозначим соответственно

a¢² = a²(1+ ) , b¢² = b²(1+ ) ; a¢²= a²½ –1+ ½, b¢²= b²½ –1+ ½,

h ¹ ± c

при любом h получаем эллипсы при ½ h ½> c получаем эллипсы

+ = 1

полуоси которых a¢ и b¢ неограни- полуоси которых a¢ и b¢ неогченно возрастают при возрас- раниченно возрастают при воз-

тании ½ h ½, и достигают минимумов растаснии ½ h ½ ; при ½ h ½< c

a и b при h = 0. получаем мнимые эллипсы

+ = –1 (Æ), а при h = ± c

(*) превращается в + = 0,

а это уравнение задает одну из

точек C₁(0, 0, c) или C₂(0, 0,– c).

В сечениях плоскостями y = h получаем соответственно кривые

– = 1– (**) – = –1–

Обозначим соответственно

a¢² = a²½ 1– ½ , c¢² = c²½ 1– ½ a¢² = a²(1+ ) , c¢² = c²(1+ ) .

и при h ¹ ± b получаем гиперболы, и при любом h получаем гиперболы

+ = ±1, – + = 1.

а при h = ± b (**) превращается в

уравнение – = 0, которое задает

пару пересекающихся прямых.

Аналогично, в сечениях F₂ плоскостями y = h получаем только гиперболы, а в сечениях F₁ – гиперболы или пары прямых при h = ± a.

Прочие геометрические свойства гиперболоидов.

1. Из уравнения (7) получаем, что ½ z½³ c, т.е. в пространственном слое z < c нет точек F_2. Координатные оси Ox и Oy пересекают F₁ в точках A₁(a, 0, 0), A₂(– a, 0, 0), B₁(0,– b, 0), B₂(0, b, 0), которые называются его вершинами. Ось Oz его не пересекает. Зато ось Oz пересекает F₂ в точках C₁(0, 0, c), C₂(0, 0,– c), которые называются его вершинами. Оси Ox и Oy не пересекают F₂.

2. Точно так же, как и для эллипсоида доказывается, что координатные оси являются осями симметрии гиперболоидов, координатные плоскости – плоскостями симметрии, а точка O – центром симметрии.

3.При a = b гиперболоиды будут поверхностями вращения, а при a = c гиперболы в сечениях плоскостями y = h будут равнобокими. При b = c равнобокими будут гиперболы в сечениях плоскостями x = h.

4.Пусть F_o – конус, заданный уравнением

F_o: + – = 0.

Пусть M_o(x, y, z_o)Î F_o, M₁(x, y, z₁)Î F₁, M₂(x, y, z₂)Î F₂ – три точки с одинаковыми координатами x и y , лежащие на конусе и на гиперболоидах. Тогда

z_o²= c²( + ), z ₁²= c²( + –1), z ₂²= c²( + +1) Þ

½ z ₁²½ <½ z_o²½ <½ z ₂²½ , а значит, F₁ лежит снаружи конуса F_o, а F₂ – внутри. Кроме того, из тех же равенств следует z_o²– z ₁²= z ₂²– z_o² = c² Þ

M_o M₁=½ z_o– z₁½ = ® 0 и M₂ M_o=½ z₂– z_o½ = ® 0 ,

когда точки M_o, M₁, M₂ уходят на бесконечность (необходимо при этом заметить, что z_o, z₁ и z₂ все стремятся к бесконечности при x ® ¥ или y ® ¥). Значит, оба гиперболоида асимптотически приближаются к конусу.

5.Мы уже видели, что в сечениях F₁ плоскостями может получаться пара прямых. Примем без доказательства, что F₁ является линейчатой поверхностью и через каждую его точку проходит пара прямых, лежащая на поверхности.