Задания для индивидуальной работы. По методу начальных параметров в предлагаемых задачах необходимо:

По методу начальных параметров в предлагаемых задачах необходимо:

Задача 8.9.1. –Определить прогиб и угол поворота сечения в т.В.

Задача 8.9.2. –Определить прогиб посредине балки и углы поворота на концах консолей.

Задача 8.9.3. –Определить проги б и угол поворота сечения в т.С.

8.9.5 Вычисление перемещений балки энергетическими методами

Выше были рассмотрены аналитические методы определения перемещений в сечениях балки, и дающие точное решение задачи. Однако часто нас интересует не вся упругая линия балки, а только перемещения в каком-либо сечении. Тогда для определения прогиба или угла поворота балки удобно пользоваться другим подходом, часто используемым на практике. Такой подход основывается на применении энергетических методов, дающих в общем случае хотя и приближенные решения, но приемлемые с практической точки зрения Энергетические методы основываются на применении выражения для потенциальной энергии упругой деформации балки.

8.9.5.1. Потенциальная энергия упругой деформации балки при изгибе

Согласно закону сохранения энергии работа внешних сил А в положении равновесия тела равна потенциальной энергии его упругой де формации V:

В общем случае потенциальную энергию для балки можно вычислить так:

где – обобщенная сила (сосредоточенная сила , внешний момент ); – соответствующее обобщенной силе обобщенное перемещение (прогиб 𝓌, угол поворота сечения балки ).

Например, для случаев нагрузки балки (рис. 8.41):

– обобщенные силы;

– обобщенные перемещения.

Рисунок 8.41 – Обобщенные силы и обобщенные перемещения для балки

Таким образом, термин «обобщенная сила» отвечает нагрузке, а соответствующее этой нагрузке перемещение называется «обобщенным перемещением».

При поперечном изгибе балки обычно пользуются следующим приближенным выражением для потенциальной энергии (без учета перерезывающих сил, что дает малую добавку):

где – изгибающий момент в сечении балки длиной l;

– изгибная жесткость балки.

Использование выражения для потенциальной энергии упругой деформации балки (8.57) позволяет рассчитать перемещения в требуемом сечении балки х с помощью энергетических методов на основе:

а) теоремы Костильяно;

б) интеграла Мора;

в) графоаналитического способа Верещагина.

8.9.5.2. Теорема Кастильяно

Она формируется следующим образом: частная производная от потенциальной энергии по одной из независимых внешних сил равна перемещению, соответствующему этой силе.

Так, прогиб балки 𝓌 в точке приложения сосредоточенной силы Р (см.рис.8.41,а) равен:

а угол поворота сечения , где действует внешний момент , вычисляется по формуле:

Рассмотрим применение теоремы Кастильяно для простейших случаев нагрузки балки.

Случай 1. Определить прогиб конца балки в т.В (рис.8.42).

Рисунок 8.42 – К определению прогиба балки на конце консоли

Решение

Изгибающий момент в сечении х балки равен:

а частная производная . Тогда на основании выражения (8.58) прогиб балки в т.В будет равен:

Знак плюс в полученном выражении соответствует прогибу балки в направлении действия сосредоточенной силы Р.

Данный результат соответствует точному решению задачи, полученному путем интегрирования дифференциального уравнения упругой линии балки (см.п.8.9.2).

Случай 2. Определить угол поворота сечения в т.В балки (рис.8.43).

Рисунок 8.43 – К определению угла поворота сечения балки на опоре В

Решение

Изгибающий момент в сечении х балки равен:

где – реакция балки на опоре А, равная по условиям статики

Тогда:

По формуле (8.59) имеем:

Знак плюс в выражении для говорит о повороте сечения в т.В в направлении действия момента .

Примечание: 1. В данном методе прогиб балки в точке по ее оси можно определить только в случае приложения в точке сосредоточенной силы Р, а угол поворота сечения – только в случае приложения в месте сечения внешнего момента .

2. При нескольких участках внешней нагрузки, где уравнения для изгибающих моментов будут разными, интегрирование по формулам (8.58) и (8.59) необходимо проводить отдельно по каждому участку.

3. Если требуется найти перемещение в сечении балки, где не приложена соответствующая обобщенная сила, то в этом сечении мысленно прикладывается дополнительная обобщенная сила ( ), которая принимается равной нулю после дифференцирования по ней под знаком интеграла.

8.9.5.3. Интеграл Мора

Интеграл Мора позволяет вычислять перемещения балок, если определение производных от изгибающего момента в выражениях теоремы Кастильяно заменить вычислением изгибающих моментов от единичной нагрузки . Тогда перемещения балки рассчитываются по формулам:

где - выражение изгибающего момента на участке балки от заданных сил в принятом сечении; – выражение изгибающего момента в принятом сечении от действия силы или единичного момента

Следовательно, производная от изгибающего момента по обобщенной силе – это то же самое, что и изгибающий момент от единичной силы.

Так, для рассмотреного случая 1 (рис. 8.44) равен

Тогда

Рисунок 8.44 – К вычислению интеграла Мора

Как видно, решения по теореме Кастильяно и с использованием интеграла Мора совпадают.

8.9.5.4. Графоаналитический способ Верещагина

Вычисление интеграла Мора по определению перемещений можно проводить по графоаналитическому способу Верещагина. По этому способу перемещение в направлении приложенной единичной силы определяется по формуле:

где – площадь эпюры изгибающих моментов М от заданной нагрузки для балки; – ордината эпюры изгибающих моментов от единичной нагрузки под центром тяжести площади .

В применении способа Верещагина необходимо учитывать следующее:

а) эпюры изгибающих моментов должны быть разбиты на такие участки, в пределах каждого из которых хотя бы одна из эпюр была линейной;

б) при перемножении эпюр ставим знак минус, если эпюры находятся по разные стороны от оси отсчета.

Для практического вычисления перемещений по способу Верещегина необходимо:

1) построить эпюру изгибающих моментов от заданной нагрузки (основная эпюра);

2) снять с балки заданную нагрузку и приложить в сечении, перемещение которого ищется в направлении этого перемещения, единичную силу, когда ищется прогиб, или единичный момент, если искомым является угол поворота сечения;

3) построить эпюру изгибающих моментов от единичной нагрузки (единичная эпюра);

4) разбить эпюры от заданных нагрузок на отдельные площади и вычислить ординаты единичной эпюры под центром тяжести этих площадей.

5) составить произведение и просуммировать их.

Рассмотрим типичные случаи нагрузки балки.

Таблица 8.2 – Площади эпюр и положения их центров тяжести

Вид эпюры изгибающего момента	Величина площади	Координата центра тяжести хц.т.
Продолжение табл. 8.2

Случай3. Определить прогиб балки в т.В под силой Р (рис.8.45, а).

Решение

Площадь эпюры М от силы Р равна: (рис.8.45, б).

Ординату эпюры М от действия на балку единичной силы (рис.8.35, в) находим из подобия треугольников (рис.8.35, г):

Рисунок 8.45 – К вычислению прогиба балки в т. В по способу Верещагина

В итоге по формуле (8.62) находим прогиб балки на конце консоли в т.В, где приложена сосредоточенная сила Р:

Полученный результат совпадает с предыдущими решениями с использованием теоремы Кастильяно и интеграла Мора.

Случай 4.Определить прогиб балки в т.С под силой Р (рис.8.36, а).

Эпюра моментов балки (рис. 8.36, б) под заданной нагрузкой состоит из двух треугольников, площади которых равны:

Рисунок 8.46 – К вычислению прогиба балки в т. С

Решение

Для балки под единичной силой (рис.8.36, в) на эпюре М ординаты под центром тяжести площадей основной эпюры равны:

.

Прогиб под силой Р в т.С по формуле (8.62) будет:

Случай 5. Определить угол поворота сечения балки а т.С, где приложен внешний момент 𝔐(рис. 8.47, а).

Решение

Как и в предыдущем случае, основная эпюра изгибающих моментов для балки (рис.8.37, б) состоит из двух площадей:

Рисунок 8.47 – К вычислению угла поворота балки в т. С

Для балки, загруженной единичным моментом в т.С (рис.8.37, в), ординаты единичной эпюры М под центрами тяжести площадей основной эпюры М равны:

Тогда угол поворота сечения балки в т.С от действия момента будет равен на основании формулы (8.62):

8.9.6 Решение типовых задач по определению перемещений балки энергетическими методами. Задания для индивидуальной работы

Пример 8.9.1. Введение дополнительной нагрузки. Для балки на рис.8.48, жестко заделанной одним концом и загруженной на другом конце сосредоточенной силой Р, определить угол поворота консоли в т.В по теореме Кастильяно.

Рисунок 8.48 – К определению угла поворота конца консоли

Решение

Непосредственно применить теорему Кастильяно к определению угла поворота конца консоли нельзя, т.к. в этом сечении нет обобщенной силы в виде внешнего момента. Поэтому вводится в этом сечении мысленный дополнительный момент (см. рис. 8.48), направленный произвольно, который в окончательных расчетах следует положить равным нулю.

По теореме Кастильяно прогиб сечения балки в т.В по формуле (8.59)будет равен:

Выражение для изгибающего момента в сечении х (его удобно отсчитывать от конца консоли) описывается зависимостью Пределы интегрирования при отсчете х от конца консоли будут 0 и l. Тогда угол поворота конца консоли соответствует выражению:

А так как дополнительную нагрузку мы ввели мысленно и ее на самом деле нет, то под знаком интеграла ее следует положить равной нулю ( ):

Знак минус свидетельствует о принятом правиле знаков для перемещений: сечение конца консоли от силы Р поворачивается почасовой стрелке.

Пример 8.9.2. Наличие нескольких участков внешней нагрузки. Для балки на рис.8.49 найти угол поворота сечения С по теореме Кастильяно.

Рисунок 8.49 – К определению угла поворота сечения балки по теореме Кастильяно

Решение

В т.С балки приложен внешний момент , поэтому в этом сечении можно найти угол поворота согласно условиям применения теоремы Кастильяно.

Точка приложения момента делит балку на два участка ВС и АС. Поэтому угол поворота сечения в т. С определим по этим двум участкам:

где и – изгибающие моменты в сечении т. С соответственно первого и второго участков.

Пределы интегрирования по участкам целесообразно указывать тогда, когда будет решено, от каких точек по длине балки удобно отсчитывать координату х сечений по участкам.

Для первого участка ВС координату удобно отсчитывать от конца консоли т.В, так как в выражение для изгибающего момента в этом сечении не войдут другие силовые факторы для балки (внешний момент , реакции заделки в т.А).

Тогда

Отсюда первый интеграл в выражении для будет равен нулю.

При установлении изгибающего момента на втором участке АС координату удобно отсчитывать от т.С ( ), чтобы нижний предел второго интеграла был равен нулю. Тогда изгибающий момент на втором участке будет (отбрасываем мысленно правую от сечения часть балки):

Определившись с пределами интегрирования на втором участке, получаем:

Таким образом, искомый угол поворота сечения балки в т.С является суммой двух факторов: первого, вызванного силой Р и направленного по часовой стрелке (угол отрицателен) и второго – от момента при угле поворота сечения против часовой стрелки (угол положителен).