Свойства чисел ряда Фибоначчи

Обнаружено много интересных соотношений между числами ряда Фибоначчи:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

1) Принцип образования членов этого ряда приводит к следующему соотношению между любыми его тремя рядом стоящими членами S_n-2, S_n-1 и S_n:

S_n = S_n-1 + S_n-2.

Эта формула дает возможность по первым двум членам ряда установить его третий член, по второму и третьему - четвертый, по третьему и четвертому - пятый и т. д.

2) Интересно было бы уметь сразу получить любой член ряда S_n, зная лишь номер nего места. Оказывается, это вполне возможно, но здесь мы столкнемся с одной из удивительных неожиданностей, которые нередки в математике.
Любой член ряда Фибоначчи - число целое, номер места - тоже число целое. Естественно было бы ожидать, что любой член ряда S_n получается в зависимости от номера и занимаемого им места при помощи действий только над целыми числами (например, как в прогрессиях). Но это не так. Не только целые числа, но даже все целые и дробные (рациональные) бессильны образовать интересующую нас формулу.
Из затруднительного положения помогают выйти два иррациональных числа:

и

Так вот, если n - номер места, то любой член S_n ряда Фибоначчи вы можете получить по формуле:

3) Зная, как любой член S_n ряда Фибоначчи определяется по номеру n занимаемого им места:

, где и

легко доказать, что любая пара соседних чисел ряда Фибоначчи S_n и S_n+1удовлетворяет одному из уравнений x²-xy-y²=±1, причем, если y=S_n, то x=S_n+1.

4) Очень забавный вид у формулы для суммы n членов ряда Фибоначчи:

S₁ + S₂ + ... + S_n = S_n+2 - 1

Сумма n первых членов ряда Фибоначчи на 1 меньше (n+2)-го члена того же ряда.
5) Сумма квадратов чисел ряда Фибоначчи выражается через произведение двух соседних членов того же ряда:

S₁² + S₂² + ... + S_n² = S_n· S_n+1

Доказательство этого свойства - тема для курсовой работы.
6) Квадрат каждого члена ряда Фибоначчи, уменьшенный на произведение предшествующего и последующего членов, дает попеременно то +1, то -1.

S_n² - S_n-1· S_n+1 = (-1)ⁿ⁺¹.

7) S₁ + S₃ + ... + S_2n-1 = S_2n.

8) S₂ + S₄ + ... + S_2n = S_2n+1 - 1.

9) В ряду Фибоначчи каждое третье число - четное, каждое четвертое делится на 3, каждое пятое - на 5, каждое пятнадцатое - на 10.

10) Невозможно построить треугольник, сторонами которого являются числа ряда Фибоначчи.

11) Если взять любые 4 последовательных числа ряда Фибоначчи и рассматривать произведение крайних членов и удвоенное произведение средних - как длины катетов прямоугольного треугольника, то длиной его гипотенузы будет один из членов этого ряда:

(a_n· a_n+3)² + (2a_n+1· a_n+2)² = a²_2n+3.

Устали? тогда все.