Кинематика вращательного движения

Произвольное движение абсолютно твердого тела можно представить в виде суммы двух движений: поступательного и вращательного.

Поступательное движение — движение, при котором все точки тела движутся по одинаковым траекториям. В этом случае движение тела можно рассматривать как движение материальной точки.

Вращательное движение — движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения тела.

Изменение положения тела в пространстве при вращательном движении определяется углом поворота тела относительно некоторого начального положения.

Угловая скорость равна первой производной от угла поворота тела по времени t:

Угловое ускорение ε равно первой производной от угловой скорости тела по времени t:

Если материальная точка движется по окружности радиуса с постоянной угловой скоростью , то ее угловые и линейные характеристики движения связаны соотношениями:

Частные случаи вращательного движения.

· Равномерное вращение:

угловая скорость ;

угловое ускорение ε = 0;

угол поворота изменяется по закону: .

· Равнопеременное вращение:

угловое ускорение ;

угловая скорость и угол поворота изменяются по законам:

.

Знак ²+² соответствует равноускоренному, а знак ²─² — равнозамедленному вращению; — угловая скорость тела в момент времени = 0.

Период вращения — время, в течение которого тело совершает один полный оборот.

Частота вращения — число оборотов, совершаемых телом за единицу времени.

Связь между периодом, частотой и угловой скоростью:

,

Динамика материальной точки

Основное уравнение динамики материальной точки (второй закон Ньютона):

где — равнодействующая сила, действующая на материальную точку; — импульс, — масса, — скорость материальной точки.

Если масса тела постоянна, то

,

где — ускорение, приобретаемое телом массой под действием силы .

Закон Гука:

F_упр= ─ kDx,

где F_упр — сила упругости; k — коэффициент упругости или жесткость пружины; Dx — изменение длины пружины. Знак ²─² означает, что сила упругости направлена против изменения длины пружины.

Закон трения скольжения:

где F_тр — сила трения скольжения; – сила реакции опоры; – коэффициент трения скольжения.

Сила тяжести:

где m — масса тела; – ускорение свободного падения.

Изменение импульса тела равно импульсу приложенных к нему сил:

Закон сохранения импульса: в изолированной системе векторная сумма импульсов входящих в нее тел остается постоянной:

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1. Координата материальной точки меняется по закону: Найти перемещение, путь и среднюю скорость движения материальной точки за время t = 2 c после начала движения. Построить график зависимости координаты от времени. A = 1 м; ω = π рад/с.

Решение:

График зависимости координаты от времени t имеет вид:

Рис. 1

Величина перемещения материальной точки вдоль оси равна:

.

где — координата точки в начальный момент времени , а — в момент времени t = 2 c. Отсюда находим величину перемещения:

.

Траекторией движения точки является отрезок прямой от –1 м до +1 м. Этот отрезок точка, как видно из графика (рис. 1), за время t = 2 c проходит дважды. Следовательно, путь равен:

Средняя скорость движения по определению равна:

Здесь ΔS = S Δt = t.

Поэтому:

Ответ:

2. Камень брошен горизонтально с начальной скоростью относительно поверхности земли. Найти уравнение траектории движения камня и радиус кривизны траектории в момент времени t.

Решение:

Движение камня рассматриваем в системе отсчета, связанной с землей. Вдоль оси камень по условию задачи движется равномерно со скоростью . Поэтому координата меняется по закону:

(1)

Вдоль оси камень падает с постоянным ускорением, равным ускорению свободного падения g. Поэтому скорость камня вдоль оси равна gt, а координата меняется по закону:

(2)

Рис. 2

Из уравнения (1) получаем: .

Подставив формулу (2), получим уравнение траектории движения камня:

Радиус кривизны R траектории находим из определения нормального ускорения:

,

где — полная скорость камня, равная

Отсюда получаем радиус кривизны траектории:

. (3)

Нормальное ускорение направлено к центру кривизны траектории перпендикулярно вектору полной скорости камня. С другой стороны, нормальное ускорение является составляющей полного ускорения, которое в данной задаче равно g. Из рис. 2 следует, что

, а . (4)

Поэтому .

Подставив (4) в (3), получаем:

,

или

.

Ответ: , .

2. Пушка стреляет под углом к горизонту. Начальная скорость снаряда равна . Найти максимальную высоту и дальность полета снаряда. Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение

Разложим вектор скорости на составляющие вдоль осей координат и (см. рис. 3): (1)

Рис.3

Движение снаряда вдоль оси является равнопеременным, поэтому:

, (2)

(3)

Снаряд поднимается вверх, пока вертикальная составляющая его скорости не станет равна нулю. Из уравнения (3) находим время подъема:

(4)

Подставив (4) в (2), находим максимальную высоту подъема :

(5)

Снаряд, достигнув максимальной высоты подъема, опускается с ускорением свободного падения. Очевидно, что в этом случае:

,

где — время падения снаряда.

Учитывая (4) и (5), получаем, что время падения снаряда равно времени его подъема. Полное время полета снаряда равно:

(6)

За это время снаряд пролетит по горизонтали расстояние:

. (7)

Подставив (1) в формулы (5), (6), (7), находим высоту и дальность полета снаряда:

Ответ:

4. Вал токарного станка за 2 с приобретает угловую скорость ω = 628 рад/с. Считая вращение тела равноускоренным, найти угловое ускорение и число оборотов вала за это время.

Решение:

Дано:

При равнопеременном вращении угол поворота тела и его угловая скорость меняются по закону:

Из последнего соотношения: находим угловое ускорение:

314 (рад/с²).

Угол поворота тела:

628 (рад).

Число оборотов тела:

100 (оборотов).

Ответ:

6. Тело скользит по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол θ. Зависимость пройденного телом пути от времени дается формулой , где — константа. Определить коэффициент трения тела о плоскость.

Решение:

При движении тела на него действуют три силы: сила тяжести , сила реакции опоры и сила трения .

Рис. 4

Запишем основное уравнение динамики материальной точки (второй закон Ньютона) в виде:

Выберем ось вдоль направления скорости тела, ось — перпендикулярно ей, и спроецируем полученное уравнение динамики на эти оси:

Включим в эту систему уравнений закон трения скольжения

и формулу определения ускорения:

В результате получим:

Решая эту систему, получаем:

Ответ:

5. Определить силу натяжения троса лебедки, поднимающей груз массой m с ускорением .

Решение:

Расставим на рисунке силы, действующие на груз. Эти силы — сила тяжести и сила натяжения троса . Запишем основное уравнение динамики в векторном виде:

.

Рис. 5

Спроецируем это уравнение на выбранную ось :

.

Решим полученное уравнение относительно :

Ответ:

10. Вагон массой m₁, движущийся со скоростью , нагоняет вагон массой m₂, движущийся со скоростью . Найти скорость вагонов после сцепки.

Решение:

а) До сцепки суммарный импульс вагонов был:

,

б) После сцепки стал:

.

По закону сохранения импульса:

или

Проецируя это уравнение на направление движения вагонов, получаем:

Рис. 6

Отсюда:

Ответ: